Vorlesung im Sommersemester 1994

Reell-algebraische Geometrie

Wolfgang K. Seiler
Die reell-algebraische Geometrie befaßt sich mit der Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen im n-dimensionalen euklidischen Raum, gesucht wird also die Menge aller Punkte (x1, ... x_n), in denen endlich viele gegebene Polynome verschwinden. Diese Lösungsmenge ist entweder leer oder endlich oder kontinuierlich. In den ersten beiden Fällen kann man sie, beispielsweise durch eine Verallgemeinerung des Gaußverfahrens für lineare Gleichungssysteme oder durch Determinantenmethoden, explizit bestimmen; im dritten Fall jedoch ist es im allgemeinen nicht möglich, sie wie aus der linearen Algebra gewohnt durch geeignete Parameter explizit anzugeben: Dazu ist die Geometrie der Lösungsmenge zu kompliziert. Trotzdem können viele Eigenschaften dieser Menge bestimmt werden, beispielsweise die Anzahl ihrer Zusammenhangskomponenten ( = aximale zusammenhägende Teilmengen) und deren Projektionen auf die Koordinatenachsen, so daß man beispielsweise genau die kleinsten Quader angeben kann, in denen Zusammenhangskomponenten der Lösungsmenge liegen. Hierbei wird sich herausstellen, daß genau das gleiche Verfahren nicht nur Gleichungssysteme sondern auch Systeme aus Gleichungen und Ungleichungen behandeln kann.

Geometrisch betrachtet sind die Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme im niedrigdimensionalen Fall Kurven und Flächen; falls auch Ungleichungen dazukommen, sind es Kurvenstücke und Flächenstücke oder - im Fall beliebiger Dimension - sogenannte semialgebraische Mengen. Als Vereinigungen solcher Mengen, im einfachsten Fall Splines, läßt sich praktisch jede beliebige Kurve, Fläche, usw. beliebig genau approximieren, und man hat den zusätzlichen Vorteil, daß alle geometrischen Operationen wie Durchschnitt, Vereinigung, Projektion algorithmisch durchführbar sind. In einfachen Fällen ist es sogar möglich, algorithmisch eine Parameterdarstellung zu konstruieren (so es eine gibt).

Für Anwendungen dieser Theorie sei auf die Vorlesung Anwendungen der reell-algebraischen Geometrie verwiesen.