Vorlesung im Sommersemester 1994

Anwendungen der reell-algebraische Geometrie

• Geometrische Modellierung: Hier ging es zunächst um die graphische Darstellung von Kurven und Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum Spezialprogrammen zur algebraischen Geometrie wie GANITH oder mit universellen Computeralgebrasystemen wie MAPLE, später auch um die Algorithmen der Computergraphik, die solchen Darstellungen zugrunde liegen.
• Logik: Die in der Reell-Algebraischen Geometrie entwickelten Verfahren zur Projektion semialgebraischer Mengen sind, rechnerisch betrachtet, Algorithmen zur Quantorenelimination in arithmetischen Formeln. Dies führt auf den Satz von Tarski-Seidenberg, wonach auch solche Formeln semialgebraische Mengen definieren, woraus beispielsweise folgt, daß die Elementargeometrie algorithmisch entscheidbar ist - im Gegensatz etwa zur Zahlentheorie, für die es nach den Gödelschen Sätzen kein solches Entscheidungsverfahren geben kann.
• Robotik: Hier gibt es im wesentlichen zwei Anwendungen: Das Problem des Klavierschiebers besteht darin, den Roboter bei gegebenen Hindernissen von seinem Standort an den Einsatzort fahren zu lassen; dieses Problem wird meist nur für stückweise lineare Hindernisse behandelt, läßt sich aber tatsächlich für beliebige semialgebraische Hindernisse zurückführen auf das Problem, ob zwei Punkte der Lösungsmenge eines Systems von Ungleichungen in derselben Zusammenhangskomponente liegen. Bei der Bewegungsplanung geht es darum, die Aktoren des Roboters in die richtige räumliche Position zu bringen, wobei direkt nur die Gelenke, Auszüge, usw. steuerbar sind. Dieses Problem führt für Manipulatoren mit hinreichend vielen Freiheitsgraden notwendigerweise auf ein nichtlineares Gleichungssystem, allerdings ist dieses so speziell, daß es mit klassischen Determinantenmethoden leicht gelöst werden kann.