Vorlesung im Herbstsemester 2006
Singularitäten differenzierbarer Abbildungen
Dienstag, 13:45 - 15:15 Uhr, A5 C013
Donnerstag, 13:45 - 15:15 Uhr, A5 C013
Dienstag, 15.30 - 17.00 Uhr, A5 C013
Beginn:
Dienstag, 5.
9.
2006, 13.45 Uhr.
Am 5.9. findet noch keine Übung statt.
Die Vorlesungen am 5.9.+7.9. sind zum Reinschnuppern, mit sehr vielen
Bildern und Motivation und einem Überblick.
Am 12.9.+14.9. finden keine Vorlesungen statt (Konferenz).
Ab dem 19.9. wird der Stoff systematisch entwickelt,
wahrscheinlich in Anlehnung an Castrigiano+Hayes (s.u.).
Zum Inhalt:
Eine zweimal differenzierbare Funktion von R nach R
hat an einem Punkt ein lokales Minimum, wenn dort die erste
Ableitung verschwindet und die zweite positiv ist. Diese elementare
Aussage ist fundamental, denn Minima und Maxima stehen in Anwendungen für Gleichgewichte und optimale Ergebnisse.
Wenn die erste und die zweite Ableitung verschwinden, muss man höhere Ableitungen betrachten.
Bei Funktionen (und vektorwertigen Abbildungen) in mehreren Variablen hat man ein viel reicheres
Spektrum an Phänomenen, wenn an einem Punkt die erste oder auch höhere Ableitungen verschwinden.
Solche Punkte nennt man Singularitäten.
Inhalt der Vorlesung sind Singularitäten von Funktionen in mehreren Variablen und die dazu
gehörigen Begriffe und Werkzeuge. Dies bildet einen Teil der Singularitätentheorie. Anwendungen
führen in die Katastrophentheorie.
Die grundlegenden Konzepte der Vorlesung sind relativ elementar, vor allem Ableitungen von
Funktionen mehrerer Variablen, etwas lineare Algebra und Begriffe der Differentialtopologie.
Verwandt ist die Differentialgeometrie. Die ganze Vorlesung ist sehr geometrisch.
Literatur:
D.P.L. Castrigiano, S.A. Hayes: Catastrophe theory. Addison-Wesley, 1993.
Th. Bröcker, L. Lander: Differentiable germs and catastrophes. London Math Soc. Lecture Note Series 17. Cambridge University Press 1975.
C.G. Gibson: Singular points of smooth mappings. Research Notes in Mathematics 25. Pitman 1979.
Yung-Chen Lu: Singularity theory and an introduction to catastrophe theory. Universitext. Springer-Verlag, 1976.
V.I. Arnold, S.M. Gusein-Zade, A.N. Varchenko: Singularities of differentiable maps, volume I. Monographs in mathematics. Birkhäuser, 1985.
V.I. Arnold: Catastrophe theory. 3rd edition. Springer-Verlag, 1992.