Topologie und Gleichgewichte

Wolfgang K. Seiler

Ort und Zeit: Mittwoch 12.00 - 13.30 und Freitag 10.15 - 11.45, C015
Übungen dazu: Freitag 12.00 - 13.30, C014

Die Topologie beschäftigt sich mit den Eigenschaften geometrischer Gebilde, die unter stetigen Deformationen invariant bleiben; sie unterscheidet also beispielsweise nicht zwischen einem Würfel, einem Prisma oder einer Kugel und verzichtet insbesondere auf Metriken. Trotzdem lassen sich offene und abgeschlossene Mengen, stetige Abbildungen, Zusammenhang, Kompaktheit und ähnliche Begriffe definieren und untersuchen, womit sich der erste Teil der Vorlesung beschäftigen wird.

Im zweiten Teil geht es darum, topologische Eigenschaften in lineare Algebra zu übersetzen und dadurch einer rechnerischen Behandlung zugänglich zu machen. Insbesondere lassen sich damit Sätze über Fixpunkte stetiger Abbildungen beweisen, aus denen beispielsweise der Fundamentalsatz der algebra folgt, wonach jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten mindestens eine Nullstelle hat oder auch die Tatsache, daß man auf R³ keine Multiplikationsabbildung mit den “üblichen” Eigenschaften definieren kann.

Hauptanwendung sind aber Gleichgewichte, wie etwa das Walrassche Gleichgewicht aus der Volkswirtschaftslehre oder das Nash-Gleichgewicht aus der Spieltheorie; auch von Neumanns Minimaxtheorem läßt sich beweisen.

Voraussetzungen: Analysis und lineare Algebra

Hörerkreis: Alle mathematischen Studiengänge; für Wirtschaftsmathematiker zählt die Vorlesung zur Gruppe A.

Literatur: Parallel zur Vorlesung soll ein Skriptum erscheinen; ansonsten sind Teile der folgenden Bücher nützlich für Teile der Vorlesung:

Klaus Jänich: Topologie, Springer, 2008

Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie, Teubner, 1994

Kim C. Border: Fixed point theorems with applications to economics and game theory, Cambridge, 1999

Ken Urai: Fixed points and economic equilibria, World Scientific, 2010