Vorlesung im Sommersemester 2006

Reell-Algebraische Geometrie

Wolfgang K. Seiler

Ort und Zeit: Dienstag, 13.45-15.15 und Mittwoch, 10.15-11.45, C015

Die reell-algebraische Geometrie befaßt sich mit der Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen im n-dimensionalen euklidischen Raum, gesucht wird also die Menge aller Punkte (x₁, ... x_n), in denen endlich viele gegebene Polynome verschwinden. Diese Lösungsmenge ist entweder leer oder endlich oder kontinuierlich. In den ersten beiden Fällen kann man sie, beispielsweise durch eine Verallgemeinerung des Gaußverfahrens für lineare Gleichungssysteme oder durch Determinantenmethoden, explizit bestimmen; im dritten Fall jedoch ist es im allgemeinen nicht möglich, sie wie aus der linearen Algebra gewohnt durch geeignete Parameter explizit anzugeben: Dazu ist die Geometrie der Lösungsmenge zu kompliziert. Trotzdem können viele Eigenschaften dieser Menge bestimmt werden, beispielsweise die Anzahl ihrer Zusammenhangskomponenten ( = maximale zusammenhägende Teilmengen) und deren Projektionen auf die Koordinatenachsen, so daß man beispielsweise genau die kleinsten Quader angeben kann, in denen Zusammenhangskomponenten der Lösungsmenge liegen. Hierbei wird sich herausstellen, daß genau das gleiche Verfahren nicht nur Gleichungssysteme sondern auch Systeme aus Gleichungen und Ungleichungen behandeln kann. Als Ausgangspunkt dienen Kriterien zur Bestimmung der Anzahl reeller Nullstellen eines Polynoms einer Veränderlicher in einem vorgegebenen Intervall.

Geometrisch betrachtet sind die Lösungen nichtlinearer Gleichungssysteme im niedrigdimensionalen Fall Kurven und Flächen; falls auch Ungleichungen dazukommen, sind es Kurvenstücke und Flächenstücke oder - im Fall beliebiger Dimension - sogenannte semialgebraische Mengen. Als Vereinigungen solcher Mengen, im einfachsten Fall Splines, läßt sich praktisch jede beliebige Kurve, Fläche, usw. beliebig genau approximieren, und man hat den zusätzlichen Vorteil, daß alle geometrischen Operationen wie Durchschnitt, Vereinigung, Projektion algorithmisch durchführbar sind. In einfachen Fällen ist es sogar möglich, algorithmisch eine Parameterdarstellung zu konstruieren (so es eine gibt).

Anwendungen hat die reell-algebraischen Geometrie unter anderem auf folgenden Gebieten:

Geometrische Modellierung: Hier ging es zunächst um die graphische Darstellung von Kurven und Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum Spezialprogrammen zur algebraischen Geometrie wie GANITH oder mit universellen Computeralgebrasystemen wie MAPLE, später auch um die Algorithmen der Computergraphik, die solchen Darstellungen zugrunde liegen.
Logik: Die in der Reell-Algebraischen Geometrie entwickelten Verfahren zur Projektion semialgebraischer Mengen sind, rechnerisch betrachtet, Algorithmen zur Quantorenelimination in arithmetischen Formeln. Dies führt auf den Satz von Tarski-Seidenberg, wonach auch solche Formeln semialgebraische Mengen definieren, woraus beispielsweise folgt, daß die Elementargeometrie algorithmisch entscheidbar ist - im Gegensatz etwa zur Zahlentheorie, für die es nach den Gödelschen Sätzen kein solches Entscheidungsverfahren geben kann.
Robotik: Hier gibt es im wesentlichen zwei Anwendungen: Das Problem des Klavierschiebers besteht darin, den Roboter bei gegebenen Hindernissen von seinem Standort an den Einsatzort fahren zu lassen; dieses Problem wird meist nur für stückweise lineare Hindernisse behandelt, läßt sich aber tatsächlich für beliebige semialgebraische Hindernisse zurückführen auf das Problem, ob zwei Punkte der Lösungsmenge eines Systems von Ungleichungen in derselben Zusammenhangskomponente liegen. Bei der Bewegungsplanung geht es darum, die Aktoren des Roboters in die richtige räumliche Position zu bringen, wobei direkt nur die Gelenke, Auszüge, usw. steuerbar sind. Dieses Problem führt für Manipulatoren mit hinreichend vielen Freiheitsgraden notwendigerweise auf ein nichtlineares Gleichungssystem, allerdings ist dieses so speziell, daß es mit klassischen Determinantenmethoden leicht gelöst werden kann.

Die Vorlesung eignet sich für eine Vertiefung in Algebra oder in Geometrie; wenn Sie sich für Kombinationsmöglichkeiten mit anderen Vorlesungen der letzten oder nächsten Semester aus diesem Bereich interessieren, wenden Sie sich bitte an mich.