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Der Zusammenhang zwischen Gruppen und Geometrien ist älter als der (mathematische) Begriff der Gruppe: Schon im Altertum und sehr stark dann im islamischen Kulturraum wurden Symmetriegruppen als wesentliches Gestaltungselement geometrischer Ornamente eingesetzt; in neuerer Zeit hat dies vor allem Escher - nun in voller Kenntnis der Gruppentheorie wie auch neuerer Entwicklungen der Geometrie - perfektioniert.
Aber auch die klassische Euklidische Geometrie, die affine und die projektive Geometrie usw. sind nach Felix Klein im wesentlichen jeweils durch eine Gruppe gegeben, deren sogenannte Invarianten die Eigenschaften der Geometrie sind; im Falle der Euklidischen Geometrie etwa ist dies die Euklidische Bewegungsgruppe. Dieser Zusammenhang hat auch praktische Anwendungen im Gebiet der computer vision.
Schlieálich interessieren sowohl unter dem Gesichtspunkt der axiomatischen Grundlegung der Geometrie wie auch für Anwendungen auf optimale Versuchsplanung, Kodierungstheorie usw. auch endliche Geometrien. Viele dieser Geometrien stehen in einem engem Zusammenhang mit Gruppen; teilweise werden solche Geometrien auch zur Konstruktion bzw. näheren Untersuchung spezieller endlicher Gruppen verwendet; beispielsweise wurden mehrere für die Klassifikation der endlichen Gruppen wesentliche Bausteine auf diese Weise konstruiert.
In der Vorlesung möchte ich auf alle drei Punkte eingehen; je nach Interesse der Hörer können dabei Schwerpunkte gesetzt werden.
Voraussetzungen: Angesichts der Vielzahl mathematischer Vorlesungen, aus denen jeweils ein kleiner Teil für diese Vorlesung nützlich ist, möchte ich nur die Lineare Algebra wirklich voraussetzen; alles andere werde ich, soweit es nicht alle Hörer bereits kennen, in der Vorlesung selbst entwickeln.
Hörerkreis: Die Vorlesung wendet sich an Mathematiker und Lehramtskandidaten der Mathematik, in erster Linie solche im Hauptstudium.
Literatur: Jedes der angesprochenen Teilgebiete hat seine eigenen Bücher, von denen jeweils nur ein Teil des Inhalts für diese Vorlesung relevant ist. Die demgemäß recht umfangreiche Literaturliste werde ich in der ersten Vorlesungsstunde verteilen.