Zu den wesentlichen Sätzen gehört etwa der Jordansche Kurvensatz, wonach jede zur Kreislinie homöomorphe ebene Kurve die Ebene in zwei Gebiete zerlegt, oder der Satz von Schönfließ, wonach eines dieser Gebiete homöomorph zur Kreisscheibe ist. Der entsprechende Satz für die Sphäre im Dreidimensionalen ist falsch (obwohl das computer aided geometric design wesentlich auf der Annahme seiner Richtigkeit beruht); hier ging es vor allem darum, praktikable Zusatzvoraussetzungen zu finden, unter denen er doch noch gilt.
Ein weiteres Thema ist die topologiesche Klassifikation der Flächen; hier gibt es nur abzählbar viele Typen, die man durch ein einfaches Konstruktionsprinzip leicht aufzählen kann. Dieses Konstruktionsprinzip hat auch praktische Anwendungen im solid modelling.