Vorlesung im Wintersemester 1996/1997:

Elliptische Kurven

Wolfgang K. Seiler

Übungen dazu: Montag, 12.00-13.30, C009

INHALT: Elliptische Kurven können am einfachsten definiert werden als zusammenhängende ebene Kurven vom Grad drei ohne mehrfache Punkte. Die Besonderheit des Grades drei besteht darin, daß die Punkte einer solchen Kurve eine kommutative Gruppe bilden, deren spezielle Eigenschaften in vielen Teilen der Mathematik ausgenutzt werden können; eine kleine Auswahl davon sind

• elementare Zahlentheorie: Elliptische Kurven liefern sowohl für die Faktorisierung großer Zahlen als auch für Primzahltests Verfahren, die mit zu den besten derzeit bekannten gehören.
• algebraische Zahlentheorie: Hier sind elliptische Kurven fast allgegenwärtig; das bekannteste Beispiel ist der Beweis der Fermatschen Vermutung, in dem Wiles tatsächlich in erster Linie einen Satz über elliptische Kurven bewies.
• Geometrie: Einige klassische Sätze der Geometrie wie etwa der Satz von Pappus lassen sich als einfache Korollarien zu Sätzen über elliptische Kurven formulieren.
• Kryptographie: Elliptische Kurven bieten in vielen kryptographischen Verfahren eine höhere Sicherheit als zyklische Gruppen sowohl bei der Verschlüsselung als auch bei der Schlüsselvereinbarung über eine unsichere Leitung. Fast alle public key Kryptoverfahren haben ein Analogon mit elliptischen Kurven; interessant sind vor allem die Verfahren, die auf dem diskreten Logarithmus beruhen, da diese im klassischen Fall inzwischen nur noch als eingeschränkt sicher gelten können.
• Kartographie, Ingenieurswissenschaften: Elliptische Kurven sind die einfachsten ebenen Kurven, die nicht durch rationale Funktionen parametrisiert werden können. Die elliptischen Funktionen, durch die sie über R und über Cparametrisiert werden können, dienen zur Berechnung der in vielen Natur- und Ingenieurswissenschaften wichtigen elliptischen Integrale, die unter anderem bei der Berechnung der Bogenlänge der Ellipse auftreten und so dem ganzen Gebiet seinen Namen gaben. Ihre Werte sind beispielsweise auf jeder amtlichen Karte in Deutschland zu finden.

In der Vorlesung wird es nach einem kurzen historischen Abriß zunächst allgemein um ebene Kurven gehen, beispielsweise um ihre Schnittpunkte miteinander und die Anzahl der Punkte, durch die sie bestimmt sind; dies führt dann auch auf Beweise klassischer geometrischer Sätze. Außerdem soll gezeigt werden, daß sich die Gleichung einer elliptischen Kurve auf eine einfache Normalform bringen läßt und daß elliptische Kurven über algebraisch abgeschlossenen Körpern durch einen einzigen Parameter charakterisiert werden können.

Nächstes Ziel ist die Gruppenstruktur einer elliptischen Kurve und einige Anwendungen davon. Ein wesentlicher weiterführender Satz besagt, daß die Gruppe über endlich erzeugten Körpern wie etwa Q oder den endlichen Körpern durch endlich viele Punkte erzeugt werden kann. Falls Zeit bleibt, möchte ich auch noch auf die Parametrisierung elliptischer Kurven durch elliptische Funktionen und einige Anwendungen davon eingehen.

In den Übungen sollen Beispiele und das praktische Rechnen mit elliptischen Kurven behandelt werden.

Die Vorlesung wendet sich an Mathematiker und Lehramtskandidaten im Hauptstudium; als Voraussetzungen genügen die Standardvorlesungen des Grundstudiums.