Seminar im Sommersemester 2003:

Seminar über Computeralgebra

Nichtlineare Gleichungssysteme und ihre Anwendungen

H. Kredel, M. Schlichenmaier, W.K. Seiler:

INHALT: Lineare Gleichungssysteme und ihre Lösung mit dem Gauß-Algorithmus sind jedem aus dem Grundstudium bekannt; die in vielen Anwendungen ebenfalls sehr wesentlichen nichtlinearen Gleichungssysteme dagegen treten h"ochstens kurz als Randthema in der Numerik auf.

In diesem Seminar wollen wir Systeme von Gleichungen höheren Grades in mehreren Variablen betrachten sowie Strategien zu deren Vereinfachung und, soweit möglich, zu ihrer exakten Lösung. Außerdem soll das Zusammenspiel zwischen exakten und numerischen Lösungen behandelt werden.

Eine geschickte Kombination von Ideen sowohl des Euklidischen als auch des Gaußschen Algorithmus oder auch Verfahren mit speziellen Determinanten, den sogenannten Resultanten, erlauben es, deren Lösungsmenge dann explizit zu bestimmen, wenn sie endlich ist; unendliche Lösungsmengen sind wegen der Nichtlinearität im allgemeinen zu kompliziert, um in geschlossener Form angebbar zu sein. Hier kann es nur darum gehen, die Lösungsmenge in möglichst einfacher Form implizit zu beschreiben und zu entscheiden, in welchen Regionen des Rⁿ Lösungen liegen. Dies entscheidet die vor allem im CAD-Bereich sehr wichtige zylindrische Zerlegung der Lösungsmenge.

Weitere Anwendungen nichtlinearer Gleichungssysteme gibt es in der Robotik, sowohl beim Problem, einen Roboterarm an vorgegebenen Positionen vorgegebene Tätigkeiten ausführen zu lassen, als auch bei der Bewegungsplanung für frei bewegliche Roboter in einer Umgebung mit Hindernissen.

Auch in der Kontrolltheorie und in der Geometrie sind nichtlineare Gleichungssysteme allgegenwärtig; ein weiteres Feld, im Zusammenhang mit der sogenannten Quantorenelimination, ist die Logik, wo man mit Hilfe der zylindrischen Zerlegung beispielsweise beweisen kann, daß die Euklidische Elementargeometrie algorithmisch entscheidbar ist.

Voraussetzungen: Grundkenntnisse in Analysis und vor allem linearer Algebra. Alle notwendigen Techniken aus der Computer-Algebra werden im Seminar selbst entwickelt.