Übungen dazu: Mittwoch, 13.45-15.15, C011
INHALT: Die Algebra stellt gemeinsam mit der Topologie die sogenannten Grundstrukturen bereit, die das gemeinsame Fundament für fast alle Teilgebiete der Mathematik bilden.
Ihre historischen Wurzeln liegen im Lösen von Gleichungen; heute gilt sie jedoch meist als Theorie von Strukturen wie Gruppen, Ringen und Körpern. In der Vorlesung Algebra I geht es um die Verbindung zwischen diesen beiden Aspekten.
Die Vorlesung beginnt mit einer Einführung in die Gruppentheorie: Gruppen werden eingeführt als Beschreibungen der Symmetrien von geometrischen Objekten wie Kristallen und Ornamenten; nach genauerer Untersuchung ihrer Eigenschaften wird sich zeigen, daß sie man in einigen Gruppen auch sehr gut rechnen kann und dies zu Anwendungen in Zahlentheorie, Kryptographie und anderen Gebieten führt.
Die Körpertheorie erlaubt es zunächst, Symmetrien auch für die Lösungen von Gleichungen zu definieren und dann mit gruppentheoretischen Methoden zu entscheiden, ob und gegebenenfalls wie diese Lösungen in geschlossener Form darstellbar sind; entsprechend läßt sich auch entscheiden, welche geometrischen Konstruktionen wie mit Zirkel und Lineal durchführbar sind. Außerdem zeigt sich auch hier wieder, daß das Rechnen in Körpern noch zahlreiche weitere Anwendungen hat, beispielsweise in der Kodierungstheorie.
Gedacht für: Mathematik- und Lehramtsstudenten ab dem dritten Semester
Voraussetzungen: Lineare Algebra I
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