{VERSION 5 0 "HP RISC UNIX" "5.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Helvetica" 1 24 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 265 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 267 1 {CSTYLE " " -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 268 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Numerische L\366sung lin earer Gleichungssysteme" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 144 "restart:\nLGS := epsilon -> \{1.35*x - 2.768*y = \+ -10,\n 4.241*x - 8.695*y = -31.4 + epsilon\}:\nLoesung := epsilon -> solve(LGS(epsilon), \{x, y\}):" }}}{EXCHG {PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Wir betrachten das lineare Gleichungssystem" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "LGS(0);" }}}{EXCHG {PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 10 "mit \+ L\366sung" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Loe sung(0);" }}}{EXCHG {PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 71 "und ver\344ndern di e rechte Seite der einen Gleichung um eine kleine Zahl " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon;" "6#%(epsilonG" }{TEXT -1 1 ":" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "LGS(epsilon);" }}}{EXCHG {PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Hier sind die L\366sungen des modifizierten Gleic hungssystems f\374r verschiedene Werte von " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon; " "6#%(epsilonG" }{TEXT -1 1 ":" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Loesung(0.01);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 13 "Loesung(0.1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "Loesung(-0.01);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "Loesung(-0.1);" }}}{EXCHG {PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 96 "Warum die L\366sung so empfindlich auf kleine St\366rungen reagier t, zeigt die L\366sung f\374r allgemeines " }{XPPEDIT 18 0 "epsilon;" "6#%(epsilonG" }{TEXT -1 1 ":" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "Loesung(epsilon);" }}}{EXCHG {PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 194 "Im n\344chsten Beispiel geht es um ein Gleichungssystem mit Ko effizienten mit Koeffizienten, die weder sonderlich gro\337 noch sonde rlich klein sind und somit rechnerisch unproblematisch sein sollten." }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "lgs := proc(n) \nlocal j, k;\nseq(sum(x[j]/(k+j), j=1..n)=1, k=1..n)\nend:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "lgs(6);" }}}{EXCHG {PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 43 "Die mit Bruchrechnung ermittelte L\366sung ist" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "solve(\{lgs(6) \});" }}}{EXCHG {PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Rechnen wir mit Dezimal zahlen und drei geltenden Ziffern, erhalten wir stattdessen" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "Digits := 3:" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "fsolve(\{lgs(6)\});" }}}{EXCHG {PARA 265 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Erh\366hen wir die Ziffernzahl, ergeben sich folgende Ergebnisse:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 208 "for i from 4 to 15 do\nDigits := i:\nassign(fsolve( \{lgs(6)\})):\nprintf(\"i = %2d: %8.3f %8.3f %9.3f %9.3f %10.3f % 9.3f\\n\", i, seq(x[k], k=1..6)):\nunassign('x[1]', 'x[2]', 'x[3]', 'x [4]', 'x[5]', 'x[6]'):\nod:" }}}{EXCHG {PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 266 "Wir kommen also erst ab etwa zehn geltenden Ziffern in die N\344he de s korrekten Ergebnisses.\nSchlimmer noch: Wenn wir das Ergebnis mehrma ls hintereinander bestimmen, erhalten wir bei kleiner Ziffernzahl vers chiedene Ergebnisse, bei vier geltenden Ziffern zum Beispiel:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 298 "Digits := 4: j := 0:\nwhile j < 10 do\nassign(fsolve(\{lgs(6)\})):\nneu := true:\nfor k to j do neu := n eu and x[1] <> x1[j] od:\nif neu then\nprintf(\"%8.3f %9.3f %9.3f % 9.3f %10.3f %9.3f\\n\", seq(x[k], k=1..6)):\nj := j+1: x1[j] := x[1] fi:\nunassign('x[1]', 'x[2]', 'x[3]', 'x[4]', 'x[5]', 'x[6]'):\nod:" }}}{EXCHG {PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Nun betrachten wir das entspr echende Gleichungssystem f\374r 15 Unbekannte:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 146 "unassign('x[1]', 'x[2]', 'x[3]', ' x[4]', 'x[5]', \n'x[6]', 'x[7]', 'x[8]', 'x[9]', 'x[10]', \n'x[11]', ' x[12]', 'x[13]', 'x[14]', 'x[15]'):\nlgs(15);" }}}{EXCHG {PARA 268 "" 0 "" {TEXT -1 442 "Wir rechnen mit 15 geltenden Ziffern. (Das sind f \374nf mehr als Maple standardm\344\337ig benutzt und auch mehr als di e meisten Taschenrechner benutzen; es entspricht etwa der Genauigkeit \+ des Rechnens mit doppeltgenauen Gleitkommazahlen nach IEEE Standard 75 4.) Hier ist links eine numerische L\366sung, rechts die korrekte. L \344\337t man die folgende Gruppe von Anweisungen mehrfach ausf\374hre n, hat man gute Chancen, da\337 sich die Werte links stark ver\344nder n." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 446 "unassign('x[1]', 'x[2]', 'x[ 3]', 'x[4]', 'x[5]', \n'x[6]', 'x[7]', 'x[8]', 'x[9]', 'x[10]', \n'x[1 1]', 'x[12]', 'x[13]', 'x[14]', 'x[15]'):\nassign(solve(\{lgs(15)\})): \nfor j from 1 to 15 do y[j] := x[j]: od:\nunassign('x[1]', 'x[2]', 'x [3]', 'x[4]', 'x[5]', \n'x[6]', 'x[7]', 'x[8]', 'x[9]', 'x[10]', \n'x[ 11]', 'x[12]', 'x[13]', 'x[14]', 'x[15]'):\nDigits := 15:\nassign(fsol ve(\{lgs(15)\})):\nfor i from 1 to 15 do printf(\"%20.5f %20d\\n\", \+ x[i], y[i]) od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}} {MARK "1 0 0" 9 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }