Die Vorlesung beginnt mit den geometrisch anschaulichen und algebraisch relativ einfach behandelbaren ebenen Kurven, insbesondere auch elliptischen Kurven sowie einige von deren Anwendungen.
Technisches Hilfsmittel zur algebraischen Beschreibung geometrischer Gebilde beliebiger Dimension ist der Begriff der algebraischen Varietät; zu seinem Verständnis werden auch einige grundlegende Sätze aus der kommutativen Algebra bewiesen. (Die Vorlesung Algebra I wird nicht vorausgesetzt, da sie zur hier benötigten Algebra fast disjunkt ist.)
Bei der lokalen Untersuchung algebraischer Varietäten geht es vor allem um die Bestimmung und Klassifikation sogenannter Singularitäten wie Doppelpunkten, Spitzen usw.; Schwerpunkte globaler Untersuchungen sind quantitative Aussagen über Durchschnitte algebraischer Varietäten oder die für viele Anwendungen wichtigen Gruppenstrukturen auf gewissen algebraischen Varietäten.
Hörerkreis: Die Vorlesung wendet sich an Mathematiker im Hauptstudium und setzt nur Grundstudiumsvorlesungen voraus. Sie ist in erster Linie für die Vertiefungsgebiete Algebra und Geometrie gedacht, kann aber bei gewissen Fächerkombinationen auch für das Fach Brücke sinnvoll sein.
Literaturauswahl: Der wohl elementarste Einstieg in die algebraische Geometrie ist das sehr kurze (und daher auch nicht sehr weit führende) Buch
Miles Reid: Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge University Press, 1988
sowie das stark dadurch beeinflußte deutschsprachige Buch
Klaus Hulek: Elementare Algebraische Geometrie, Vieweg, 2000
Ebenfalls für Anfänger ohne jegliche Vorkenntnisse geschrieben ist
Shreeram S. Abhyankar: Algebraic Geometry for Scientists and Engineers, American Mathematical Society, 1990
Ein deutschsprachiges Buch, das in den meisten Kapiteln nur die übliche Grundstudiumsmathematik voraussetzt, ist
Markus Brodmann: Algebraische Geometrie, eine Einführung, Birkhäuser, 1989;
ein ähnliches Niveau hat auch
Karen E. Smith, L. Kahanpaa, P. Kekalainen, W.N. Traves: An Invitation to Algebraic Geometry, Springer, 2000
Etwas anspruchsvoller, aber immer noch einführend im Charakter, ist
David Mumford: Algebraic Geometry I: Complex Projective Varieties, Springer, 1976
Ausführlichere Lehrbücher, deren Stoffumfang weit über das hinausgeht, was in einer einsemestrigen Vorlesung behandelt werden kann, sind
Phillip Griffiths, Joseph Harris: Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978
Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer, 1977
David Mumford: The Red Book of Varieties and Schemes, Springer Lecture Notes in Mathematics 1358, 1988
Igor R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry, Springer, 1977; überarbeitete Neuauflage in zwei Bänden ibid, 1994/1995
deutsche Version der Anfangskapitel:
Igor R. Schafarewitsch: Grundzüge der algebraischen Geometrie,
Vieweg, 1972
Eine Einführung in die konstruktive, rechnerische Seite der algebraischen Geometrie findet man beispielsweise in den beiden Büchern
David Cox, John Little, Donal O'Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer, 1992
David Cox, John Little, Donal O'Shea: Using Algebraic Geometry, Springer, 1998