§10: Die Homologie simplizialer Komplexe

In diesem Abschnitt wollen wir einem simplizialen Komplex abelsche Gruppen und damit auch Zahlen zuordnen, die uns Informationen über die Geometrie des Komplexes geben. Wie wir am Ende sehen werden, hängen diese Daten nicht vom simplizialen Komplex ab, sondern nur von dessen topologischer Realisierung; sie geben also echte geometrische Information.

Beginnen wir mit einigen Aussagen über abelsche Gruppen. Eine abelsche Gruppe ist bekanntlich eine Gruppe, deren Gruppenoperation kommutativ ist; wir beschreiben diese Operation durch das Zeichen ”+“ und nennen das neutrale Element Null. Auf einer abelschen Gruppe A gibt es eine natürliche Operation des Rings ℤ der ganzen Zahlen: Für λ ∈ ℤ und a ∈ A setzen wir

λa = \{ \begin{matrix}a + ⋯ + a (λ Faktoren) & für λ > 0 \\ 0 & für λ = 0 \\ −((−λ)a) & für λ < 0 \end{matrix} .

In völliger Analogie zu den Vektorraumaxiomen gilt:

\begin{aligned}λ(a + b) & = λa + λb \\ (λ + μ)a & = λa + μa \\ 1a & = a \\ 0a & = 0 . \end{aligned}

Wir nennen eine Teilmenge {a_{1}, …, a_{r}} einer abelschen Gruppe linear unabhängig, wenn gilt: Eine Beziehung der Form

λ_{1}a_{1} + ⋯ + λ_{n}a_{n} = 0

2 Topologie SS1992

kann nur gelten, wenn alle λ_{i} verschwinden. Die maximale Mächtigkeit einer linear unabhängigen Teilmenge von A heißt Rang von A und wird mit rg(A) abgekürzt. Beispielsweise ist der Rang einer endlichen abelschen Gruppe stets Null, denn für jedes a ∈ A gibt es ein λ ∈ ℤ \ {0}, so daß λa = 0 ist. Beispiele für Gruppen mit positivem Rang sind die freien abelschen Gruppen: Eine abelsche Gruppe A heißt frei, wenn sie isomorph ist zu einer der Gruppen ℤ^{r} für ein r ≥ 0, das auch unendlich sein kann. Offensichtlich hat eine solche Gruppe den Rang r mit den Urbildern der Einheitsvektoren (1, 0, 0, …), (0, 1, 0, …) als Elementen einer maximalen linear unabhängigen Teilmenge. Allgemeiner bezeichnen wir zu beliebiger vorgegebener Menge M die Gruppe

ℤ^{M} = ⨁_{m∈M} ℤm

als freie abelsche Gruppe über M. Die Elemente dieser Gruppe lassen sich also als endliche Linearkombinationen der Elemente von M schreiben. Die freie abelsche Gruppe über der leeren Menge soll dabei einfach die triviale Gruppe {0} sein.

In völliger Analogie zur Situation bei den Vektorräumen gilt:

Lemma: Alle maximalen linear unabhängigen Teilmengen einer abelschen Gruppe A haben die gleiche Mächtigkeit.

Beweis: {a_{1}, a_{2}, … } und {b_{1}, b_{2}, … } seien zwei maximale linear unabhängige Teilmengen von A. Dann enthält A die Untergruppe

U = ℤa_{1} ⊕ ℤa_{2} ⊕ ⋯ ≤ A,

und natürlich läßt sich U einbetten in den ℝ-Vektorraum

V = ℝa_{1} ⊕ ℝa_{2} ⊕ · · · .

Die Homologie simplizialer Komplexe 3

Da die a_{i} eine maximale linear unabhängige Menge bilden, muß es zu jedem b_{j} ein λ_{j} ≠ 0 geben, so daß λ_{j}b_{j} in U liegt; insbesondere bilden die λ_{j}b_{j} also eine linear unabhängige Teilmenge von V, die wegen ihrer Maximalität in A sogar eine Basis von V sein muß. Da alle Basen eines Vektorraums die gleiche Mächtigkeit haben, ist der Satz bewiesen.

Korollar: Für eine Untergruppe U einer abelschen Gruppe A gilt:

rg(A/U) = rg(A) − rg(U).

Beweis: Ergänze eine maximale linear unabhängige Teilmenge von U zu einer maximalen linear unabhängigen Teilmenge von A; die Restklassen der neu hinzukommenden Elemente bilden eine maximale linear unabhängige Teilmenge von A/U.

Zum Schluß sei noch der Vollständigkeit halber der Struktursatz für endlich erzeugbare abelsche Gruppen angegeben:

Satz: Jede endlich erzeugbare abelsche Gruppe vom Rang r ist isomorph zu einer Gruppe der Form

ℤ^{r} ⊕ ⨁_{i=1}^{n} ℤ/p_{i}^{e_{i}}

mit eindeutig bestimmten Primzahlpotenzen p_{i}^{e_{i}}.

Dieser Satz ist ein Korollar des Elementarteilersatzes; für seinen Beweis sei auf Vorlesungen über (kommutative) Algebra verwiesen. Für diese Vorlesung wird er nicht benötigt.

In der Topologie treten abelsche Gruppen meist in Komplexen auf:

Definition: Ein Kettenkomplex ist ein System C von abelschen Gruppen C_{q}, q ≥ 0, zusammen mit Homomorphismen ∂_{q}: C_{q} → C_{q−1} derart, daß ∂_{q−1} ∘ ∂_{q} = 0 ist für alle q. Dabei setzen wir formal C_{−1} = 0 und ∂_{0} = 0. Die Elemente von C_{q} heißen q-Ketten, die Abbildungen ∂_{q} heißen Randabbildungen. Eine q-Kette c heißt q-Zyklus, wenn ∂_{q}(c) = 0 ist; sie heißt q-Rand, wenn sie im Bild von C_{q+1} liegt. Insbesondere ist jeder q-Rand ein q-Zyklus, denn ∂_{q} ∘ ∂_{q+1} = 0.

Die Gruppe aller q-Zykeln von C wird mit Z_{q}(C) bezeichnet, die der q-Ränder mit B_{q}(C). Die Faktorgruppe

H_{q}(C) = Z_{q}(C)/B_{q}(C)

heißt q-te Homologiegruppe von C.

Da ∂_{q} nur auf C_{q} definiert ist, können wir anstelle von ∂_{q}(c) im allgemeinen einfach ∂(c) schreiben, denn der Index q ist durch c eindeutig bestimmt.

Wir wollen nun jedem abstrakten simplizialen Komplex 𝔎 einen Kettenkomplex C(𝔎) zuordnen. Dazu müssen wir zunächst die Simplizes von 𝔎 orientieren:

Definition: Eine Orientierung eines abstrakten Simplex {v_{0}, …, v_{q}} ist eine Festlegung der Reihenfolge der Reihenfolge der v_{i} bis auf gerade Permutationen. Ein orientiertes Simplex [v_{0}, …, v_{q}] ist ein Simplex {v_{0}, …, v_{q}} zusammen mit der Orientierung, zu der die angegebene Reihenfolge der v_{i} gehört.

Offensichtlich hat also jedes q-Simplex mit q ≠ 0 genau zwei verschiedene Orientierungen.

Für den Rest dieses Paragraphen wollen wir annehmen, daß wir stets eine Orientierung der sämtlichen Simplizes von 𝔎 vorgegeben haben.

Definition: C_{q}(𝔎), die Gruppe der q-Ketten von 𝔎, ist die freie abelsche Gruppe über der Menge der q-Simplizes von 𝔎.

Ist σ ein orientiertes Simplex aus 𝔎 und τ dasselbe Simplex mit der entgegengesetzten Orientierung, so identifizieren wir τ mit der Kette −σ. Es ist klar, daß die Homologie von 𝔎 nicht von der vorgegebenen Orientierung der Simplizes abhängt: Eine andere Orientierung bedeutet nur, daß wir andere Basen derselben Kettengruppen betrachten.

Um Randabbildungen definieren zu können, müssen wir zunächst wissen, was der Rand eines orientierten q-Simplex ist:

∂_{q}[v_{0}, …, v_{q}] = ∑_{i=0}^{q}(−1)^{i}[v_{0}, …, v̂_{i}, …, v_{q}],

wobei das Dach über v_{i} bedeuten soll, daß diese Ecke ausgelassen wird:

[v_{0}, …, v̂_{i}, …, v_{q}] = [v_{0}, …, v_{i−1}, v_{i+1}, …, v_{q}].

Die (q − 1)-Kette ∂_{q}[v_{0}, …, v_{q}] hängt nur von der Orientierung des Simplex ab, nicht von der genauen Reihenfolge der v_{i}: Vertauschen wir zwei Ecken v_{r} und v_{s}, so ändert [v_{0}, …, v̂_{i}, …, v_{q}] für i ≠ r, s seine Orientierung, wird also mit (−1) multipliziert. Für i = r oder s werden die beiden Randsimplizes miteinander vertauscht und mit (−1)^{r−s−1} multipliziert, denn wir brauchen r − s − 1 Transpositionen um v_{r} bzw. v_{s} wieder auf seine ”richtige“ Position zu bringen. Außerdem wird aber auch der Vorfaktor (−1)^{i} noch mit (−1)^{r−s} multipliziert, insgesamt gesehen wird also jedes Randsimplex mit (−1) multipliziert und damit der gesamte Rand. Da sich jede gerade Permutation als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen schreiben läßt, folgt die Behauptung.

Damit können wir allgemein die Randabbildung ∂_{q} für q-Ketten definieren:

∂_{q}: \{ \begin{matrix}C_{q}(𝔎) & → C_{q−1}(𝔎) \\ ∑ λ_{i}σ_{i} & ↦ ∑ λ_{i}∂_{q}(σ_{i}) \end{matrix} .

Lemma: ∂_{q−1} ∘ ∂_{q} = 0.

Beweis: Es genügt natürlich, dies für jedes q-Simplex einzeln nachzurechnen:

∂_{q−1} ∘ ∂_{q}[v_{0}, …, v_{q}]

= ∂_{q−1} (∑(−1)^{i}[v_{0}, …, v̂_{i}, …, v_{q}])
= ∑(−1)^{i}∂_{q−1}[v_{0}, …, v̂_{i}, …, v_{q}]
= ∑_{i} ∑_{j<i}(−1)^{i+j}[v_{0}, …, v̂_{j}, …, v̂_{i}, …, v_{q}]

+ ∑_{i} ∑_{j>i}(−1)^{i+j−1}[v_{0}, …, v̂_{i}, …, v̂_{j}, …, v_{q}]

= ∑_{i} ∑_{j<i}(−1)^{i+j}[v_{0}, …, v̂_{j}, …, v̂_{i}, …, v_{q}]

− ∑_{j} ∑_{i<j}(−1)^{i+j−1}[v_{0}, …, v̂_{j}, …, v̂_{i}, …, v_{q}]

= 0 .

Damit haben wir also jedem abstrakten simplizialen Komplex 𝔎 einen Kettenkomplex C(𝔎) zugeordnet; seine Zykeln, Ränder und Homologie bezeichnen wir kurz auch als Zykeln, Ränder und Homologie von 𝔎. Insbesondere schreiben wir auch H_{q}(𝔎) für H_{q}(C(𝔎)). Der Rang β_{q} von H_{q}(𝔎) wird als q-te Betti-Zahl des simplizialen Komplexes 𝔎 bezeichnet.

Beispiel 1: Die Kreislinie: 𝔎 sei ein abstrakter simplizialer Komplex, dessen topologische Realisierung die Kreislinie S^{1} ist. Ein solcher Komplex ist geometrisch gesehen natürlich nichts anderes als der Kantenzug eines n-Ecks. Wir orientieren die 1-Simplizes so, daß jede Ecke sowohl Anfangspunkt als auch Endpunkt einer Kante ist; wenn wir die Orientierung einer Kante willkürlich vorgeben, ist dadurch die Orientierung aller weiteren Kanten eindeutig bestimmt.

Da es in 𝔎 keine q-Simplizes mit q ≥ 2 gibt, ist also H_{q}(𝔎) = 0 für q ≥ 2, wir müssen also nur H_{0}(𝔎) und H_{1}(𝔎) berechnen, Offensichtlich ist jedes 0-Simplex ein Zyklus, denn ∂_{0} ist ja nach Definition gleich der Nullabbildung, und die Differenz zweier 0-Simplizes ist ein Rand, nämlich der Rand eines zusammenhängenden Kantenzugs, der die beiden Punkte miteinander verbindet. Also ist für zwei Nullsimplizes σ_{i} und σ_{j} die Kette σ_{i} − σ_{j} ein Rand und B^{0}(𝔎) ist gerade der Kern der Abbildung

Z_{0}(𝔎) = C_{0}(𝔎) → ℤ; ∑ λ_{i}σ_{i} ↦ ∑ λ_{i},

d.h. H_{0}(𝔎) ≅ ℤ.

Eine 1-Kette kann nur dann ein Zyklus sein, wenn sie mit jeder Kante auch deren Vorgänger- und Nachfolgerkante mit genau gleicher Vielfachheit enthält; ist also c die Summe aller 1-Simplizes, so ist Z_{1}(𝔎) = ℤc. Da es keine 2-Ketten gibt, gibt es auch keine 1-Ränder, d.h. H_{1}(𝔎) = Z_{1}(𝔎) ≅ ℤ.

Beispiel 2: Die Ebene: Da die reelle Ebene ℝ^{2} nicht kompakt ist, muß jeder Komplex 𝔎, dessen topologische Realisierung homöomorph zu ℝ^{2} ist, unendlich sein. Wir orientieren seine Dreiecke so, daß ihre Ecken im Uhrzeigersinn durchlaufen werden; die Kanten seien in irgendeiner Weise orientiert. Wie bei der Kreislinie folgt sofort, daß H_{0}(𝔎) ≅ ℤ ist.

Ein 1-Zyklus ist offenbar ein endlicher geschlossener Kantenzug, also eine Summe von Kanten ±σ_{i}, die in der gegebenenfalls durch das Vorzeichen modifizierten Orientierung so durchlaufen werden können, daß der Endpunkt einer Kante gleich dem Anfangspunkt der nächsten ist. Ein solcher Kantenzug berandet dann eine endliche Anzahl von zusammenhängenden Gebieten, von Vereinigungen endlich vieler benachbarter 2-Simplizes also, und nach Wahl von deren Orientierung ist der Rand einer solchen Vereinigung gerade die 1-Kette, die der geometrische Rand des Gebiets ist: Stoßen nämlich zwei Dreiecke an einer Kante aneinander, so tritt diese gemeinsame Kante in den Randketten der beiden Dreiecken mit entgegengesetztem Vorzeichen auf falls man die Ecken der Dreiecke im Uhrzeigersinn durchläuft. (Zeichnung!) Daher ist jeder 1-Zyklus ein 1-Rand, d.h. H_{1}(𝔎) = 0.

Aus dem gleichen Grund folgt, daß ein 2-Zyklus mit jedem Dreieck auch dessen sämtliche Nachbardreiecke enthalten muß. Dies ist aber in einer endlichen Kette nur dann möglich, wenn es sich um die Kette Null handelt. Also ist H_{2}(𝔎) = Z_{2}(𝔎) = 0; abgesehen von H_{0}(𝔎) ≅ ℤ gibt es also keine nichttriviale Homologiegruppe.

Beispiel 3: Der Torus: Sei 𝔎 eine seiner Triangulierungen. Da der Torus als ℝ^{2}/ℤ^{2} geschrieben werden kann, läßt sich 𝔎 durch periodische Fortsetzung zu einer Triangulierung 𝔎′ der Ebene fortsetzen. Genauer: Das Urbild eines q-Simplex aus |𝔎| unter der Quotientenabbildung ℝ^{2} → ℝ^{2}/ℤ^{2} zerfällt in unendlich viele q-Simplizes, und die Menge aller so erhaltener Simplizes bildet eine Triangulierung von ℝ^{2}. Den zugehörigen abstrakten simplizialen Komplex bezeichnen wir mit 𝔎′ und wir wählen die Orientierungen seiner Dreiecke so, daß sie alle im Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Dies definiert dann auch eine Orientierung der Dreiecke aus 𝔎, denn die verschiedenen Urbilder eines solchen Dreiecks gehen durch Parallelverschiebung auseinander hervor, sind also in 𝔎′ konsistent orientiert. Die Kanten seien irgendwie orientiert.

Wie üblich (?) ist auch hier wieder H_{0}(𝔎) = ℤ, gehen wir also gleich zu H_{1}. Ein 1-Zyklus z von 𝔎 ist eine endliche Summe von geschlossenen zusammenhängenden Kantenzügen auf 𝔎; betrachten wir einen davon. O.B.d.A. sei die Identifikation des Torus mit ℝ^{2}/ℤ^{2} so gewählt, daß das Bild von (0, 0) eine Ecke von z ist. Dann läßt sich z liften zu einem zusammenhängenden Kantenzug c in 𝔎′, der in (0, 0) beginnt und in einem Punkt (n, m) ∈ ℤ^{2} endet. Seien c_{1} und c_{2} zwei fest gewählte zusammenhängende Kantenzüge aus 𝔎′ von (0, 0) nach (0, 1) bzw. (1, 0), in denen keine Kante doppelt vorkommt und keine Ecke zu mehr als zwei Kanten gehört. Dann ist

d = c − mc_{1} − nc_{2}

ein 1-Zyklus von 𝔎′, also – wie wir im vorigen Beispiel gesehen haben – sogar ein 1-Rand, und damit ist auch das Bild von d in 𝔎 ein 1-Rand. Sind also z_{1} und z_{2} die Bilder von c_{1} und c_{2} in 𝔎, so sind z_{1} und z_{2} 1-Zykeln mit der Eigenschaft, daß es für jeden beliebigen 1-Zyklus z von 𝔎 ganze Zahlen n, m gibt, so daß z − mz_{1} − nz_{2} ein Rand ist, H_{1}(𝔎) ≅ ℤ^{2} wird also von den Äquivalenzklassen von z_{1} und z_{2} modulo den Rändern erzeugt. Geometrisch gesehen sind z_{1} und z_{2} gerade die beiden Kreise, deren Produkt der Torus ist.

Ein 2-Zyklus, schließlich, muß auch hier wieder mit jedem Dreieck auch dessen sämtliche Nachbarn enthalten, und da 𝔎 ein endlicher Komplex ist, ist das auch möglich: Der Zyklus muß einfach ein ganzzahliges Vielfaches der Summe aller Dreiecke sein. Da es keine 2-Ränder gibt, ist also H_{2}(𝔎) = Z_{2}(𝔎) ≅ ℤ.

In allen drei hier betrachteten Beispielen hingen die Homologiegruppen nicht vom simplizialen Komplex 𝔎 ab, sondern nur vom topologischen Raum |𝔎|. Im Rest dieses Paragraphen geht es hauptsächlich um den Beweis, daß dies allgemein so ist. Zuerst möchte ich aber eine Art schwache Version des Eulerschen Polyedersatzes beweisen:

Satz: 𝔎 sei ein endlicher simplizialer Komplex der Dimension n; die Anzahl seiner i-Simplizes sei α_{i}. Dann ist die alternierende Summe der α_{i} gleich der alternierenden Summe der Betti-Zahlen von 𝔎:

∑_{q=0}^{n}(−1)^{q}α_{q} = ∑_{q=0}^{n}(−1)^{q}β_{q}

Beweis: Da Z_{q}(𝔎) der Kern von ∂_{q} ist und B_{q−1}(𝔎) das Bild, ist

C_{q}(𝔎)/Z_{q}(𝔎) ≅ B_{q−1}(𝔎),

also

α_{q} = rg(C_{q}(𝔎)) = rg(Z_{q}(𝔎)) + rg(B_{q−1}(𝔎)).

Genauso folgt wegen H_{q}(𝔎) = Z_{q}(𝔎)/B_{q}(𝔎):

β_{q} = rg(H_{q}(𝔎)) = rg(Z_{q}(𝔎)) − rg(B_{q}(𝔎)).

Mithin ist

β_{q} = α_{q} − rg(B_{q−1}(𝔎)) − rg(B_{q}(𝔎)),

wobei formal B_{−1}(𝔎) = 0 zu setzen ist. Bildet man die alternierende Summe, so heben sich wegen B_{n}(𝔎) = 0 die Ränge der Gruppen der Ränder gerade weg, womit die Behauptung gezeigt wäre.

Korollar: Für jede Triangulierung des Torus mit e Ecken, k Kanten und f Dreiecken ist e − f + k = 0.

Als nächstes wollen wir sehen, daß die Homologiegruppen eines simplizialen Komplexes 𝔎 nur vom topologischen Raum |𝔎| abhängen. Die Beweisstrategie wird folgende sein: Wir betrachten zunächst spezielle Unterteilungen von endlichen simplizialen Komplexen und zeigen, daß eine solche Unterteilung eines Komplexes dieselbe Homologie hat wie der Komplex selbst. Dann folgern wird, daß dies auch noch für allgemeinere Unterteilungen gilt und zeigen, daß zwei endliche simpliziale Komplexe eine gemeinsame verallgemeinerte Unterteilung und damit die gleiche Homologie haben. Dies beweist den Satz für kompakte Räume |𝔎|. Auf den Fall unendlicher Komplexe (für die der Satz ebenfalls gilt) möchte ich nicht eingehen.

1. Schritt: Unterteilungen

Beginnen wir mit Unterteilungen. Der Bequemlichkeit halber arbeiten wir im Rest dieses Paragraphen mit geometrischen simplizialen Komplexen, alle Simplizes sind also geometrische Simplizes in einem festen ℝ^{N}. Da jeder abstrakte simpliziale Komplex 𝔎 eine geometrische Realisierung K hat, bedeutet dies keine Einschränkung der Allgemeinheit.

Umgekehrt bestimmt ein geometrischer simplizialer Komplex K auf eindeutige Weise einen abstrakten simplizialen Komplex 𝔎. Da wir im weiteren Verlauf dieses Paragraphen hauptsächlich mit geometrischen simplizialen Komplexen arbeiten werden, bezeichnen wir die Ketten, Zykeln und Rändern von 𝔎 auch als Ketten, Zykeln und Ränder von K und setzen H_{q}(K) = H_{q}(𝔎). Da sich der Leser hoffentlich schon bisher alle Ketten als Aneinanderreihungen von geometrischen Simplizes vorgestellt hat, sollte dies zu keiner Verwirrung führen.

Definition: Ein (geometrischer) simplizialer Komplex L heißt Unterteilung des Komplexes K, wenn |L| = |K| ist und wenn es für jedes Simplex t aus L ein Simplex s aus K gibt, so daß t ⊂ s ist.

Man beachte, daß die beiden Simplizes s und t nicht die gleiche Dimension haben müssen: Wenn wir das verlangen wollten, hätte L genau die gleichen Ecken wie K, und es wäre L = K.

Es gibt eine kanonische Möglichkeit zur Unterteilung eines geometrischen simplizialen Komplexes, die baryzentrische Unterteilung. Erinnern wir uns daran, daß der Schwerpunkt eines Simplex s mit Ecken P_{1}, …, P_{q} der Punkt

b(s) = \frac{1}{q + 1} ∑_{i=0}^{q} P_{i}

ist und definieren wir

Definition: Die erste baryzentrische Unterteilung eines geometrischen simplizialen Komplexes K ist jener Komplex K′, dessen Ecken die Schwerpunkte der sämtlichen Simplizes von K sind und dessen Simplizes aufgespannt werden von Punkten b(s_{0}), …, b(s_{q}), wobei s_{0} ein beliebiges Simplex von K ist und s_{i+1} für jedes i ein echtes Randsimplex (nicht notwendigerweise in Kodimension eins) von s_{i} ist.

Da jedes Nullsimplex sein eigener Schwerpunkt ist, kommen insbesondere auch alle Ecken von K unter den Ecken von K′ vor. Die q-Simplizes ⟨b(s_{0}), …, b(s_{q})⟩ mit q > 0 sind echte Teilmengen von s_{0}, da sie höchstens eine Ecke von s_{0} enthalten können. b(s_{0}), …, b(s_{q}) sind in allgemeiner Lage, denn sie sind konvexe Linearkombinationen der Ecken von s_{0}, und jedes b(s_{i}) hängt von mindestens einer Ecke mehr ab als die folgenden b(s_{j}), eine nichttriviale lineare Beziehung zwischen den b(s_{i}) wäre also automatisch auch eine nichttriviale lineare Beziehung zwischen den Ecken von s_{0}, und die kann es nicht geben. Also ist K′ ein Komplex und somit ein Unterkomplex von K.

Völlig analog können wir für jedes n ∈ ℕ die n-te baryzentrische Unterteilung K^{(n)} von K definieren durch K^{(1)} = K′ und K^{(n+1)} = K^{(n+1)′}. Der wesentliche Punkt des Beweises, daß die Homologie eines Komplexes nur von seiner topologischen Realisierung abhängt, besteht darin, zu zeigen, daß die sämtlichen K^{(n)} gleiche Homologie haben.

Wir zeigen dies zunächst in einem ganz einfachen, aber wichtigen Fall: für die baryzentrische Unterteilung eines einzelnen Simplex.

2. Schritt: Die Homologie von Kegeln

Der Komplex K bestehe aus einem Simplex s und dessen sämtlichen Randsimplizes, und K′ sei seine erste baryzentrische Unterteilung. K′ hat einen Unterkomplex L, der aus jenen Simplizes von K′ besteht, die auf dem Rand von s liegen. Jedes Simplex t von K′, das nicht zu L gehört, hat den Schwerpunkt b(s) von s als Ecke, denn das ist die einzige Ecke von K′, die nicht in L liegt. Zu einem solchen Simplex t gibt es daher ein Simplex u = ⟨P_{1}, …, P_{q}⟩ aus L, so daß sich t in der Form

t = b(s) · u =_{def} ⟨b(s), P_{1}, …, P_{q}⟩

schreiben läßt. Diese Situation wollen wir formalisieren und verallgemeinern:

Definition: K sei ein geometrischer simplizialer Komplex in ℝ^{N} und P sei ein Punkt aus ℝ^{N}, der entweder eine Ecke von K ist oder aber in keinem von einem Simplex aus K aufgespannten affinen Unterraum von ℝ^{N} liegt. Der Kegel über K mit Spitze P ist jener geometrische simpliziale Komplex L = P ·K mit L_{0} = K_{0}∪{P }, dessen q-Simplizes für q > 0 einerseits die sämtlichen q-Simplizes von K sind, andererseits alle Simplizes der Form P · s, wobei s ein (q − 1)-Simplex von K ist, das P nicht als Ecke hat.

Im obigen Beispiel ist also K′ der Kegel über L mit Spitze b(s).

Im folgenden schreiben wir für eine beliebige Kette c = ∑ λ_{i}s_{i}

P · c =_{def} ∑ λ_{i} P · s_{i} ,

wobei P · s_{i} = 0 sein soll, wenn P eine Ecke von s_{i} ist.

Wir beweisen nun allgemein, daß die Homologie eines Kegels trivial ist. Da die nullte Homologiegruppe eines simplizialen Komplexes immer zumindest die Äquivalenzklasse eines einzelnen Punktes enthält, kann ”Trivialität“ hier natürlich nicht bedeuten, daß alle Homologiegruppen verschwinden, sondern

Definition: Wir sagen, ein Komplex K sei azyklisch oder habe triviale Homologie, wenn H_{q}(L) = 0 ist für q > 0 und H_{0}(L) ≅ ℤ.

Lemma: Ein Kegel L = P · K hat triviale Homologie.

Beweis: Da jede Ecke von L durch eine Kante mit P verbunden werden kann, ist natürlich H_{0}(L) ≅ ℤ. Für q > 0 hat jeder q-Zyklus z von L eine eindeutige Darstellung z = P · c + d, wobei c ∈ C_{q−1}(K) und d ∈ C_{q}(K). Daher ist

0 = ∂_{q}z = c − P · ∂_{q−1}c + ∂_{q}d.

Dabei ist c + ∂d eine Kette aus K, keines ihrer Simplizes hat also den Punkt P als Ecke, wohingegen in der Kette P · ∂_{q−1}c jedes Simplex P als Ecke hat. Daher haben die beiden Ketten kein Simplex gemeinsam, müssen also beide verschwinden:

c + ∂_{q}d = 0 und P · ∂_{q−1}c = 0.

Nach der ersten dieser Gleichungen ist

z = P · c + d = d − P · ∂_{q}d = ∂_{q+1}(P · d)

ein Rand, wie behauptet.

Korollar: Der Komplex, der aus einem Simplex s und dessen sämtlichen Seitensimplizes besteht, hat triviale Homologie.

Das ist klar, denn für jede Ecke P von s läßt sich s als Kegel P · s′ schreiben, wobei s′ das P gegenüberliegende Simplex ist, oder auch einfach als P · ∂s.

3. Schritt: Simpliziale Abbildungen und Kettenabbildungen

Zum Vergleich der Homologie zweier simplizialer Komplexe müssen wir Abbildungen zwischen diesen Komplexen betrachten und diese auf die zugehörigen Kettenkomplexe und Homologiegruppen fortsetzen. Der natürliche Abbildungsbegriff für Abbildungen zwischen Komplexen ist folgender:

Definition: Eine simpliziale Abbildung zwischen zwei simplizialen Komplexen L und K ist eine Abbildung φ: L_{0} → K_{0} von der Menge L_{0} der Ecken von L in die Menge K_{0} der Ecken von K derart, daß die Ecken eines jeden Simplex s von L auf (nicht notwendigerweise verschiedene) Ecken eines Simplex von K abgebildet werden. Das kleinste Simplex aus L mit dieser Eigenschaft bezeichnen wir mit φ(s).

Eine simpliziale Abbildung φ: L_{0} → K_{0} definiert eine Abbildung φ̂: |L| → |K| durch lineare Fortsetzung in das Innere der Simplizes: Jeder Punkt P ∈ |L| ist innerer Punkt eines Simplex von L und läßt sich daher als konvexe Linearkombination ∑ λ_{i}P_{i} von dessen Ecken P_{0}, …, P_{r} schreiben; wir setzen

φ̂(P) = ∑_{i=0}^{r} λ_{i}φ(P_{i}).

φ induziert auch eine Abbildung zwischen den Kettenkomplexen C(K) und C(L), aber dazu müssen wir zunächst definieren, was eine solche Abbildung sein soll:

Definition: Eine Kettenabbildung φ: C → D zwischen zwei Kettenkomplexen C = {C_{q}, ∂_{q}} und D = {D_{q}, ∂′_{q}} ist ein System von Abbildungen φ_{q}: C_{q} → D_{q} derart, daß φ_{q−1} ∘ ∂_{q} = ∂′_{q} ∘ φ_{q} ist.

Versuchen wir also, der simplizialen Abbildung φ: K_{0} → L_{0} eine Kettenabbildung φ̃: C(K) → C(L) zuordnen. Dabei stoßen wir auf das Problem, daß eine simpliziale Abbildung ein Simplex von K auf ein Simplex von L mit niedrigerer Dimension abbilden kann. Wie sich zeigen wird, verlieren wir nichts, wenn wir solche Simplizes einfach ignorieren; wir definieren also φ̃(s) für ein q-Simplex s mit Ecken P_{0}, …, P_{q} aus K als Null, falls die Punkte φ(P_{0}), …, φ(P_{q}) nicht paarweise verschieden sind, und sonst als das von ihnen aufgespannte q-Simplex von L. Durch lineare Fortsetzung auf die Kettengruppe erhalten wir daraus einen Homomorphismus

φ̃_{q}: C_{q}(K) → C_{q}(L); ∑ λ_{i}s_{i} ↦ ∑ λ_{i}φ̃_{q}(s_{i}) .

Beim Nachweis, daß dies in der Tat eine Kettenabbildung ist, können wir uns auf ein einzelnes Simplex s aus K zu beschränken; dessen Ecken seien P_{0}, …, P_{q}. Falls alle φ(P_{i}) verschieden sind, gibt es keinerlei Probleme. Wenn zwei Punkte P_{i} und P_{j} übereinstimmen, ist φ̃_{q}(s) = 0, also auch ∂′_{q}(φ̃_{q}(s)) = 0; wir müssen zeigen, daß auch φ̃_{q−1}(∂_{q}(s)) verschwindet. Für alle Randsimplizes, in denen sowohl P_{i} als auch P_{j} vorkommen, ist das klar, φ̃_{q−1}(∂_{q}(s)) enthält also höchstens die beiden Randsimplizes, in denen φ(P_{i}) bzw. φ(P_{j}) gestrichen wird. Diese beiden sind aber gleich und treten mit entgegengesetztem Vorzeichen auf, da der Vorfaktor den Beitrag (−1)^{(i−j)} liefert und die Transposition den Beitrag (−1)^{(i−j−1)}. (Man vergleiche mit der Rechnung, die zeigte, daß der Rand eines Simplex nur von der Orientierung abhängt.)

Als nächstes brauchen wir Abbildungen zwischen den Homologiegruppen; die gibt es für jede Kettenabbildung nach dem folgenden

Lemma: Eine Kettenabbildung φ: C → D induziert Homomorphismen φ_{∗q}: H_{q}(C) → H_{q}(D) für alle q ≥ 0. Ist ψ: D → E eine weitere Kettenabbildung, so ist auch ψ ∘ φ: C → E, das System der Abbildungen ψ_{q} ∘ φ_{q}, eine Kettenabbildung, und (ψ ∘ φ)_{∗q} = ψ_{∗q} ∘ φ_{∗q}.

Beweis: Jedes h ∈ H_{q}(C) hat einen Repräsentanten z ∈ Z_{q}(C); wir wollen φ_{∗q}(h) als die Homologieklasse von φ_{q}(z) definieren. Dies ist wohldefiniert, denn wegen

∂′_{q}(φ_{q}(z)) = ∂′_{q} ∘ φ_{q}(z) = φ_{q−1} ∘ ∂_{q}(z) = φ_{q−1}(0) = 0

liegt φ_{q}(z) in Z_{q}(D), und wenn wir anstelle von z einen anderen Repräsentanten z′ nehmen, so unterscheiden sich z und z′ durch einen Rand, d.h. z′ = z + ∂_{q+1}(c) für eine Kette c ∈ C_{q+1} und

φ_{q}(z′) = φ_{q}(z) + φ_{q}(∂_{q+1}(c)) = φ_{q}(z) + ∂′_{q+1}(φ_{q+1}(c)),

φ_{q}(z) und φ_{q}(z′) unterscheiden sich also nur um einen Rand und definieren daher die gleiche Restklasse in H_{q}(D). Die restlichen Behauptungen sind trivial.

Da somit jede Kettenabbildung Homomorphismen zwischen den Homologiegruppen induziert, induziert auch jede simpliziale Abbildung φ Homomorphismen φ̃_{∗q}, die wir der Einfachheit halber als φ_{∗q} schreiben. Natürlich gilt auch hier wieder für zusammengesetzte Abbildungen ψ ∘ φ, daß (ψ ∘ φ)_{∗q} = ψ_{∗q} ∘ φ_{∗q} ist.

4. Schritt: Benachbarte Abbildungen und Kettenhomotopien

Hier geht es um hinreichende Bedingungen dafür, daß zwei Kettenabbildungen die gleichen Homomorphismen auf der Homologie induzieren.

Definition: a) Zwei simpliziale Abbildungen φ, ψ: C(K) → C(L) zwischen den Kettenkomplexen zu den simplizialen Komplexen K und L heißen benachbart, wenn es zu jedem q-Simplex s von K ein Simplex t von L gibt, so daß φ(s) und ψ(s) beide Randsimplizes von t sind.

b) Zwei simpliziale Abbildungen φ, ψ: C(K) → C(L) zwischen den Kettenkomplexen zu den simplizialen Komplexen K und L heißen ähnlich, wenn es zu jedem q-Simplex s von K einen Unterkomplex L(s) von L gibt, so daß gilt:

1. L(s) hat triviale Homologie.

2. Für jedes Simplex s von K liegen sowohl φ(s) als auch ψ(s) in L(s).

3. Für jedes Randsimplex t eines Simplex s aus K ist L(t) ein

Unterkomplex von L(s).

c) Zwei Kettenabbildungen φ, ψ: C → D zwischen den Kettenkomplexen C = {C_{q}, ∂_{q}} und D = {D_{q}, ∂′_{q}} heißen homotop, wenn es für jedes q ≥ 0 einen Homomorphismus γ_{q}: C_{q} → D_{q+1} gibt, so daß gilt:

∂′_{q+1} ∘ γ_{q} + γ_{q−1} ∘ ∂_{q} = φ_{q} − ψ_{q}.

Damit dies auch für q = 0 sinnvoll ist, setzen wir formal γ_{−1} = 0.

Natürlich sind benachbarte Abbildungen ähnlich, wir müssen nur L(s) gleich dem kleinsten Simplex setzen, das φ(s) und ψ(s) als Randsimplizes hat, denn wir wissen schon aus dem zweiten Schritt, daß Simplizes triviale Homologie haben. Wir wollen nun sehen, daß ähnliche Abbildungen homotop sind, und daß homotope Abbildungen zwischen Kettenkomplexen die gleichen Homomorphismen zwischen den Homologiegruppen induzieren.

Lemma: Ähnliche Abbildungen φ, ψ: C(K) → C(L) sind homotop.

Beweis: Wir müssen für jedes q-Simplex s von K eine (q + 1)-Kette γ_{q}(s) aus L angeben, so daß

∂′_{q+1} ∘ γ_{q} + γ_{q−1} ∘ ∂_{q} = φ_{q} − ψ_{q}

ist. Die entsprechenden Abbildungen γ_{q} werden induktiv definiert; wegen ihrer Linearität genügt es, γ_{q}(s) für q-Simplizes s anzugeben. γ_{q}(s) wird dabei immer sogar eine Kette aus dem Unterkomplex L(s) sein.

Für q = 0, eine Ecke s von K also, sind φ(s) und ψ(s) Ecken des azyklischen Unterkomplexes L(s) von L. Da dessen nullte Homologiegruppe gleich ℤ ist, muß die 0-Kette φ(s) − ψ(s) Rand einer 1-Kette aus L(s) sein; diese 1-Kette nennen wir γ_{0}(s). Nach Konstruktion ist

∂′_{1} ∘ γ_{0}(s) = φ_{0}(s) − ψ_{0}(s),

wie gewünscht.

Seien nun γ_{0}, …, γ_{q−1} bereits so definiert, daß die geforderte Gleichung für alle p-Simplizes mit p < q gilt, und sei s ein q-Simplex aus K. Für jedes (q −1)-Simplex t aus dem Rand von s ist γ_{q−1}(t) definiert und liegt in L(t) ⊂ L(s). Daher liegt auch γ_{q−1}(∂_{q}(s)) in L(s), genauso wie φ(s) und ψ(s). Folglich ist

c = φ_{q}(s) − ψ_{q}(s) − γ_{q−1}(∂_{q}(s))

eine Kette in L(s), sogar ein Zyklus, denn

∂′_{q}(c) = ∂′_{q} ∘ φ_{q}(s) − ∂′_{q} ∘ ψ_{q}(s) − ∂′_{q} ∘ γ_{q−1}(∂_{q}(s))
= φ_{q−1} ∘ ∂_{q}(s) − ψ_{q−1} ∘ ∂_{q}(s) − ∂′_{q} ∘ γ_{q−1}(∂_{q}(s))
= (φ_{q−1} − ψ_{q−1} − ∂′_{q} ∘ γ_{q−1})(∂_{q}(s)),

und das ist nach Induktionsvoraussetzung gleich

γ_{q−2} ∘ ∂_{q−1} ∘ ∂_{q}(s) = 0 .

Da der q-Zyklus c im azyklischen Komplex L(s) liegt, ist er Rand einer (q + 1)-Kette aus L(s). Wir setzen γ_{q}(s) gleich einer solchen Kette; dann ist die Bedingung an γ_{q} nach Konstruktion erfüllt.

Das zweite Lemma ist noch einfacher:

Lemma: Für homotope Kettenabbildungen φ, ψ: C → D stimmen φ_{∗q} und ψ_{∗q} für alle q überein.

Beweis: Wir müssen zeigen, daß φ_{q}(z) − ψ_{q}(z) für jeden Zyklus z aus Z_{q}(C) in der Rändergruppe B_{q}(D) liegt. Das ist aber klar, denn

φ_{q}(z) − ψ_{q}(z) = ∂′_{q+1}(γ_{q}(z)) + γ_{q−1}(∂_{q}(z)) = ∂′_{q+1}(γ_{q}(z)),

denn ∂_{q}(z) verschwindet für einen Zyklus z.

Insbesondere induzieren also ähnliche Abbildungen die gleichen Homomorphismen auf der Homologie. Um im nächsten Schritt zu zeigen, daß die Homologie eines Komplexes gleich der seiner baryzentrischen Unterteilungen ist, werden wir dies auf eine spezielle Abbildung anwenden:

5. Schritt: Die Sperner-Abbildung

K sei ein simplizialer Komplex, K′ seine erste baryzentrische Unterteilung. Als Sperner-Abbildung bezeichnen wir ”die“ simpliziale Abbildung ω: (K′)_{0} → K_{0}, die jeder Ecke b(s) von K′ irgendeine der Ecken von s zuordnet, sowie auch die dadurch auf den Kettengruppen induzierte Abbildung ω: C(K′) → C(K).

Wir wollen in diesem Schritt einsehen, daß die auf der Homologie induzierten Abbildungen

ω_{∗q}: H_{q}(K′) → H_{q}(K)

Isomorphismen sind. Dazu konstruieren wir eine Kettenabbildung ω^{−}: C(K) → C(K′) derart, daß ω_{∗q} und ω_{∗q}^{−} für alle q zueinander invers sind. Die linearen Abbildungen ω_{q}^{−}: C_{q}(K) → C_{q}(K′) werden induktiv konstruiert:

ω_{0}^{−}: C_{0}(K) → C_{0}(K′) ist diejenige Abbildung, die jede Ecke auf sich selbst abbildet. Für q > 0 soll ω_{q}^{−} jedes q-Simplex s von K abbilden auf die Summe aller q-Simplizes von K′, die in s liegen. Formal erklären wir das folgendermaßen: Für eine q-Kette c = ∑ λ_{i}s_{i} aus einem simplizialen Komplex und eine Ecke P, die in keinem der s_{i} vorkommt, definieren wir ein (q + 1)-Kette

P · c = ∑ λ_{i} P · s_{i},

wobei P · s für ein orientiertes q-Simplex s mit Ecken P_{0}, … P_{q} das orientierte (q + 1)-Simplex mit Ecken P, P_{0}, …, P_{q} bezeichnen soll, also den Kegel über s mit Spitze P. Mit dieser Bezeichnung soll dann gelten

ω_{q}^{−}(s) =_{def} b(s) · ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)).

Man überzeugt sich leicht durch Induktion, daß dies eine Kettenabbildung definiert, denn

∂_{q}(ω_{q}^{−}(s)) = ∂_{q}(b(s) · ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)))
= ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)) − b(s) · ∂_{q−1}(ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)))
= ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)) − b(s) · ω_{q−2}^{−}(∂_{q−1} ∘ ∂_{q}(s))
= ω_{q−1}^{−}(∂_{q}(s)).

Ebenfalls durch Induktion folgt, daß

ω_{q} ∘ ω_{q}^{−} = id_{C_{q}(K)}

ist, denn für q = 0 ist dies klar, und für jedes q-Simplex s mit q > 0 ist

\begin{aligned}ω_{q} ∘ ω_{q}^{−}(s) & = ω_{q}(b(s) · ω_{q−1}^{−}(∂_{q}s)) = ω(b(s)) · (ω_{q−1} ∘ ω_{q−1}^{−})(∂_{q}s) \\ & = ω(b(s)) · ∂_{q}(s) = s, \end{aligned}

weil ω(b(s)) nach Konstruktion eine Ecke von s ist und ∂_{q}(s) insbesondere auch das dieser Ecke gegenüberliegende Randsimplex enthält.

Die umgekehrte Gleichung

ω_{q}^{−} ∘ ω_{q} = id_{C_{q}(K′)}

ist offensichtlich falsch, denn natürlich kann ω_{q} nicht injektiv sein. Für unsere Zwecke genügt es aber, wenn wir anstelle der Gleichheit nur die Ähnlichkeit der beiden Abbildungen zeigen, und die ist fast klar: Ein Simplex s′ aus K′ hat die Form

s′ = ⟨b(s), b(s_{1}), …, b(s_{q})⟩ ,

wobei die s_{i} Seitensimplizes von s sind; wir definieren K′(s′) als die Menge aller Simplizes aus K′, die in s liegen. Wie wir im zweiten Schritt gesehen haben, hat dieser Komplex triviale Homologie, außerdem liegen sowohl ω_{q} ∘ ω_{q}^{−}(s′) als auch id_{C_{q}(K)}(s′) in K′(s′), also sind die beiden Abbildungen ähnlich. Es folgt, daß sowohl

ω_{∗q}^{−} ∘ ω_{∗q}: H_{q}(K′) → H_{q}(K′)

als auch

ω_{∗q} ∘ ω_{∗q}^{−}: H_{q}(K) → H_{q}(K)

identische Abbildungen sind, also ist

ω_{∗q}: H_{∗q}(K) → H_{∗q}(K′)

ein Isomorphismus. Durch Iteration von Sperner-Abbildungen folgt sofort

Satz: Für jeden simplizialen Komplex K und für jede baryzentrische Unterteilung K^{(n)} von K ist H_{q}(K) ≅ H_{q}(K^{(n)}).

6. Schritt: Verfeinerungen endlicher simplizialer Komplexe

Hier kommen wir nun zu der angekündigten Verallgemeinerung des Unterteilungsbegriffs. Dazu brauchen wir zunächst zwei neue Begriffe aus der Theorie der simplizialen Komplexe:

Definition: K sei ein simplizialer Komplex und P sei eine Ecke von K. Der Stern von P ist die Vereinigung st_{K}(P) der Inneren aller jener Simplizes aus K, die P als Ecke haben. Der Link von P ist die Vereinigung lk_{K}(P) aller Simplizes aus \overline{st_{K}(P)} , die P nicht als Ecke enthalten.

Offensichtlich ist der abgeschlossene Stern \overline{st_{K}(P)} von P die geometrische Realisierung eines Unterkomplexes St_{K}(P), und der Link von P ist geometrische Realisierung eines Unterkomplexes Lk_{K}(P) von St_{K}(P). Weiter ist St_{K}(P) = P ·Lk_{K}(P) ein Kegel; insbesondere hat St_{K}(P) also nach dem Lemma aus dem zweiten Schritt triviale Homologie.

Wenn der zugrundeliegende Komplex klar ist, werden wir in Zukunft den Index K natürlich weglassen.

Der Stern von P ist nach Konstruktion eine offene Menge, und die Sterne der sämtlichen Ecken von K bilden eine Überdeckung von |K|. Verfeinerungen von Komplexen sollen nun so definiert werden, daß sie Verfeinerungen dieser Überdeckung entsprechen. Einen trivialen, aber nützlichen Zusammenhang zwischen den Eigenschaften der Überdeckungsmengen und der simplizialen Struktur des Komplexes liefert das folgende

Lemma: Die Ecken P_{0}, …, P_{q} eines simplizialen Komplexes K gehören genau dann zu einem gemeinsamen Simplex von K, wenn ihre Sterne nichtleeren Durchschnitt haben.

Beweis: Falls P_{0}, …, P_{q} zu einem gemeinsamen Simplex gehören, liegt dessen Inneres natürlich im Stern eines jeden P_{i}, also auch im Durchschnitt dieser Sterne. Enthält umgekehrt ∩_{i=0}^{q}st(P_{i}) einen Punkt Q, so muß dieser für jedes i innerer Punkt eines Simplex mit Ecke P_{i} sein. Da jeder Punkt aber nur im Innern eines einzigen Simplex aus K liegen kann, gehört Q zu einem Simplex, das alle P_{i} als Ecken hat.

Damit können wir nun endlich die Verfeinerungen eines Komplexes definieren:

Definition: Ein (geometrischer) simplizialer Komplex L heißt Verfeinerung eines Komplexes K, in Zeichen L < K, wenn |L| = |K| ist und wenn es zu jeder Ecke P von L eine Ecke Q von K gibt, so daß st_{L}(P) in st_{K}(Q) liegt.

Beispielsweise ist jede baryzentrische Unterteilung eine Verfeinerung; hier erhält man Q aus P durch eine Sperner-Abbildung.

In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, daß je zwei endliche simpliziale Komplexe, die die gleiche Teilmenge von ℝ^{N} triangulieren, eine gemeinsame Verfeinerung haben, und daß Verfeinerungen die gleichen Homologiegruppen haben wie der ursprüngliche Komplex. Der hier vorgestellt Beweis mit baryzentrischen Unterteilungen läßt sich nur für endliche simpliziale Komplexe durchführen, ab jetzt müssen wir also Endlichkeit voraussetzen. Um dafür ein kurzes Wort zu haben, definieren wir

Definition: Eine Teilmenge X ⊂ ℝ^{N} heißt Polyeder, wenn sie Vereinigung der Simplizes eines endlichen geometrischen simplizialen Komplexes ist.

Ein Polyeder ist also eine Teilmenge des ℝ^{N}, die durch endlich viele Hyperebenen (mit nicht notwendigerweise gleicher Dimension) begrenzt wird.

Um nun zu zeigen, daß die Homologie eines Polyeders nur von diesem selbst abhängt, nicht aber von einer Triangulierung, brauchen zunächst einige metrische Vorbereitungen.

Definition: Die Maschenweite μ(K) eines endlichen simplizialen Komplexes K im ℝ^{N} ist das Supremum der Abstände zwischen zwei Punkten eines Simplex von K bezüglich der Metrik des ℝ^{N}.

Lemma: μ(K) ist das Maximum der Abstände zwischen zwei Ecken eines Simplex aus K.

Beweis: a sei der größte Abstand zwischen zwei Ecken. Für einen beliebigen Punkt Q aus dem Simplex sei P_{i} die am weitesten entfernte Ecke; dann enthält die Kugel mit Radius d(Q, P_{i}) alle Ecken, also das ganze Simplex, und somit ist

d(Q, R) ≤ d(Q, P_{i})

für alle Simplexpunkte R. Ist P_{j} diejenige Ecke, die am weitesten von P_{i} entfernt ist, so gilt aus dem gleichen Grund

d(Q, P_{i}) ≤ d(P_{j}, P_{i}),

also

d(Q, R) ≤ d(Q, P_{i}) ≤ d(P_{j}, P_{i}) ≤ a,

wie behauptet.

Bei der Konstruktion einer gemeinsamen Verfeinerung werden natürlich die baryzentrischen Unterteilungen eine große Rolle spielen; insbesondere müssen wir wissen, daß ihre Maschenweite beliebig klein werden kann. Dies folgt aus

Lemma: K sei ein geometrischer simplizialer Komplex in ℝ^{N}, dessen Simplizes alle höchstens die Dimension r haben. Dann ist

μ(K′) ≤ \frac{r}{r + 1}μ(K).

Beweis: Die Maschenweite von K′ ist der größte Abstand zwischen zwei Ecken eines Simplex aus K′; seien also zwei solche Ecken gegeben. Nach Konstruktion von K′ gibt es dazu ein Simplex

s = ⟨P_{0}, …, P_{q}⟩

von K und ein Randsimplex t von s, o.B.d.A. das von P_{0} bis P_{p} aufgespannte, so daß die gegebenen Ecken die Schwerpunkte b(s) und b(t) von s und t sind. Der Vektor zwischen den beiden Ecken ist dann

b(t) − b(s) = \frac{1}{p + 1} ∑_{i=0}^{p} P_{i} − \frac{1}{q + 1} ∑_{i=0}^{q} P_{i}

= (\frac{1}{p + 1} − \frac{1}{q + 1}) ∑_{i=0}^{p} P_{i} − \frac{1}{q + 1} ∑_{i=p+1}^{q} P_{i}

= \frac{q − p}{(p + 1)(q + 1)} ∑_{i=0}^{p} P_{i} − \frac{1}{q + 1} ∑_{i=p+1}^{q} P_{i}

= \frac{q − p}{q + 1} (\frac{1}{p + 1} ∑_{i=0}^{p} P_{i} − \frac{1}{q − p} ∑_{i=p+1}^{q} P_{i}) .

In der Klammer steht der Verbindungsvektor zwischen einem der Punkte des Simplex ⟨P_{0}, …, P_{p}⟩ und einem der Punkte des Simplex ⟨P_{p+1}, …, P_{q}⟩, von zwei Punkten aus s also, und deren Abstand kann nicht größer sein als μ(K). Also ist

d(b(t), b(s)) ≤ \frac{q − p}{q + 1}μ(K) ≤ \frac{q}{q + 1}μ(K) ≤ \frac{r}{r + 1}μ(K),

wie behauptet.

Damit können wir zeigen

Lemma: Für zwei endliche simpliziale Komplexe K und L, für die |K| = |L| ist, gibt es stets eine natürliche Zahl n, so daß die n-te baryzentrische Unterteilung K^{(n)} von K eine Verfeinerung von L ist. Insbesondere haben K und L eine gemeinsame Verfeinerung M.

Beweis: Die Sterne der Ecken P von L bilden eine offene Überdeckung von |L| = |K|. Da |L| wegen der Endlichkeit von L eine kompakte Teilmenge eines ℝ^{N} ist, gibt es zu dieser Überdeckung eine Lebesgue-Zahl δ derart, daß jede offene Teilmenge von ℝ^{N} mit einem Durchmesser kleiner δ in einer Überdeckungsmenge liegt. (Siehe dazu in §5 den Beweis, daß eine Teilmenge von ℝ^{N} genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.) Aus dem gerade gezeigten Lemma folgt, daß wir eine Zahl n finden können, so daß μ(K^{(n)}) < δ/2 ist. Da der Durchmesser eines Sterns höchstens gleich der doppelten Maschenweite sein kann, ist K^{(n)} eine Verfeinerung von L und erst recht natürlich von K.

Satz: Für zwei endliche geometrische simpliziale Komplexe K und L mit |K| = |L| sind H_{q}(K) und H_{q}(L) isomorph für alle q.

Beweis: Da L und K eine gemeinsame Verfeinerung haben, können wir uns auf den Fall L < K beschränken. Dann läßt sich leicht eine simpliziale Abbildung L → K angeben: Man ordnet einfach jeder Ecke P ∈ L_{0} eine Ecke Q ∈ K_{0} zu derart, daß st_{L}(P) ⊂ st_{K}(Q) ist. Diese Abbildung definiert Homomorphismen

τ(L, K)_{q}: H_{q}(L) → H_{q}(K)

für alle q, und diese hängen nur von L, K und q ab, nicht von der simplizialen Abbildung L → K, denn je zwei solche Abbildungen sind ähnlich, da st(Q) und st(Q′) nur dann einen nichtleeren Durchschnitt haben können, wenn QQ′ eine Kante von K ist. Sei nun n so gewählt, daß K^{(n)} eine Verfeinerung von L ist. Dann ist K^{(n)} < L < K, und wegen der Eindeutigkeit von τ ist einerseits τ(K^{(n)}, K)_{q} = τ(L, K)_{q} ∘ τ(K^{(n)}, L)_{q}, andererseits aber wird τ(K^{(n)}, K)_{q} von einer Iteration von Sperner-Abbildungen induziert, ist also ein Isomorphismus. Damit ist auch τ(L, K)_{q} ein Isomorphismus, und der Satz ist bewiesen.

7. Schritt: Simpliziale Approximation von Abbildungen

Wir wissen nun, daß die Homologie eines Polyeders nicht von dessen Triangulierung abhängt, sondern nur vom Polyeder selbst. Wir wissen aber noch nicht, daß zueinander homöomorphe Polyeder wie etwa der Würfel und das Tetraeder beide die gleiche Homologie haben, und wir können daher insbesondere noch nicht von ”der“ Homologie der Vollkugel oder eines anderen krummlinig begrenzten Körpers sprechen.

Diese letzte Lücke schließt der siebte Schritt, in dem wir stetigen Abbildungen zwischen Polyedern simpliziale Abbildungen zwischen deren Triangulierungen und damit Homomorphismen zwischen den Homologiegruppen zuordnen und zeigen, daß einem Homöomorphismus Isomorphismen der Homologiegruppen zugeordnet werden.

Definition: K und L seinen simpliziale Komplexe. Eine simpliziale Abbildung φ: K_{0} → L_{0} heißt simpliziale Approximation der stetigen Abbildung f: |K| → |L|, wenn für jeden Punkt x ∈ |K| die Bildpunkte f(x) und |φ|(x) in einem gemeinsamen Simplex von L liegen.

Lemma: Jede stetige Abbildung f: |K| → |L| zwischen zwei kompakten Polyedern hat eine simpliziale Approximation φ: K^{(n)} → L für hinreichend großes n.

Beweis: U = {st_{L}(P) | P ∈ L_{0}} ist eine offene Überdeckung von |L|. Die Urbilder der Überdeckungsmengen unter f bilden eine offene Überdeckung der kompakten Teilmenge |K| von ℝ^{N}; deren Lebesgue-Zahl sei δ. Wie im letzten Schritt gibt es dann ein n, so daß μ(K^{(n)}) < δ/2 ist, und wir können eine Abbildung φ: K_{0}^{(n)} → L_{0} definieren, indem wir P ∈ K_{0} abbilden auf irgendein Q ∈ L_{0} mit

st_{K^{(n)}}(P) ⊂ f^{−1}(st_{L}(Q)).

Dies ist eine simpliziale Abbildung, denn sind P_{0}, …, P_{q} Ecken eines Simplex aus K^{(n)}, so haben die Sterne st_{K^{(n)}}(P) nichtleeren Durchschnitt, und dieser Durchschnitt liegt im Durchschnitt der f^{−1}(st_{L}(φ(P_{i}))), so daß auch dieser Durchschnitt und damit der Durchschnitt der st_{L}(φ(P_{i})) nicht leer ist; die φ(P_{i}) sind also Ecken eines Simplex aus L.

Schließlich ist φ auch eine simpliziale Approximation von f, denn liegt x ∈ |K| im von P_{0}, …, P_{q} aufgespannten Simplex, so liegt x im Durchschnitt der Sterne der P_{i} in K^{(n)}, also liegt f(x) nach Konstruktion von φ im Durchschnitt der Sterne der φ(P_{i}) in L, also im Simplex, das von φ(P_{0}), … φ(P_{q}) aufgespannt wird, und genau dort liegt nach Konstruktion auch |φ|(x).

Satz: Zu jeder stetigen Abbildung f: X → Y zwischen zwei Polyedern gibt es eindeutig bestimmte Homomorphismen

f_{∗q}: H_{q}(X) → H_{q}(Y)

für alle q. Ist g: Y → Z eine weitere stetige Abbildung nach einem Polyeder Z, so ist (g ∘ f)_{∗q} = g_{∗q} ∘ f_{∗q}. Ist f ein Homöomorphismus, so sind alle f_{∗q} Isomorphismen.

Beweis: K, L seien simpliziale Komplexe, die X und Y triangulieren, und φ: K^{(n)} → L sei eine simpliziale Approximation von f. Wir setzen f_{∗q} = φ_{∗q} und müssen zeigen, daß diese Abbildungen nicht von K, L, n und φ abhängen.

Die Unabhängigkeit von φ bei gegebenem K, L und n ist klar: Zwar ist die Definition von φ im obigen Beweis alles andere als eindeutig, aber zwei verschiedene Wahlen von φ sind benachbart und liefern daher die gleichen Homomorphismen auf der Homologie. Auch die Unabhängigkeit von n folgt dann sofort, da man mit Sperner-Abbildungen leicht von einem n zu einem größeren kommen kann.

Ersetzt man K und L durch andere Triangulierungen, so haben diese nach den Ergebnissen des letzten Schritts gemeinsame Verfeinerungen mit K beziehungsweise L, es genügt also, eine Verfeinerung K̃ von K und eine Verfeinerung L̃ von L zu betrachten und zu zeigen, daß eine simpliziale Approximation ψ : K̃^{(m)} → L̃ die gleichen Homomorphismen definiert. Dies ist aber klar nach dem letzten Schritt.

Die Formel (g ∘ f)_{∗q} = g_{∗q} ∘ f_{∗q} ist ebenfalls (ziemlich) klar, und da die Identitäten auf X und Y natürlich identische Abbildungen auf den Homologiegruppen induzieren, folgt auch, daß Homöomorphismen zwischen topologischen Räumen Isomorphismen zwischen den Homologiegruppen induzieren.

Damit können wir definieren Definition: Falls es zu dem topologischen Raum X einen abstrakten simplizialen Komplex 𝔎 gibt, so daß X homöomorph zu |𝔎| ist, definieren wir die q-te Homologiegruppe von X als

H_{q}(X) =_{def} H_{q}(𝔎).

Ist Y ein weiterer topologischer Raum, der homöomorph zur topologischen Realisierung eines simplizialen Komplexes 𝔏 sei, und ist f: X → Y eine stetige Abbildung, so definieren wir lineare Abbildungen

f_{∗q}: H_{q}(X) → H_{q}(Y)

wie folgt: K und L seien geometrische Realisierungen von 𝔎 und 𝔏; dann gibt es Homöomorphismen ρ: |K| → X und σ: Y → |L|, die zusammen mit f eine stetige Abbildung

g = σ ∘ f ∘ ρ : |K| → |L|

ergeben. Diese Abbildung hat nach dem gerade bewiesenen Satz eine simpliziale Approximation φ: K^{(n)} → L, und wir setzen f_{∗q} = φ_{∗q}.

Man kann sich leicht (wenn auch umständlich) davon überzeugen, daß f_{∗q} nur von f abhängt.

Die Gruppen H_{q}(X) sind für kompaktes X bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, und das soll uns ausreichen. Mit etwas mehr Aufwand kann man für beliebige topologische Räume Homologiegruppen definieren, wobei man zeigen kann, daß sie für kompakte triangulierbare Räume mit den hier definierten übereinstimmen.

Natürlich kann man die Homologiegruppen eines kompakten triangulierbaren topologischen Raums X auch dadurch ausrechnen, daß man einen geometrischen simplizialen Komplex K betrachtet mit |K| homöomorph zu X und dann die Homologie von K berechnet.

§11: Anwendungen der Homologietheorie

Als erste und elementarste Anwendung möchte ich zeigen, daß Dimensionen zumindest bei ”gutartigen“ topologischen Räumen nur von der Homöomorphieklasse des Raums abhängen. Beginnen wir mit den Sphären. Die n-Sphäre S^{n} läßt sich triangulieren durch einen Komplex 𝔎, der aus den sämtlichen Randsimplizes eines (n + 1)-Simplex s besteht. Ist 𝔏 der Komplex, der zusätzlich auch noch das Simplex s enthält, so hat 𝔏 nach dem Korollar aus Schritt 2 im vorigen Paragraphen triviale Homologie. Für q < n ist aber H_{q}(𝔎) = H_{q}(𝔏), denn 𝔎 und 𝔏 haben für i ≤ n genau die gleichen i-Ketten, und auch die Randoperatoren sind gleich. Für q = n ist in 𝔏 wegen dessen trivialer Homologie Z_{n}(𝔏) = B_{n}(𝔏), d.h. Z_{n}(𝔏) wird erzeugt vom Rand ∂s von s. Da Z_{n}(𝔏) = Z_{n}(𝔎) ist, 𝔎 aber keine n-Ränder hat, ist also H_{n}(𝔎) ≅ ℤ und wir erhalten

Lemma: Die n-Sphäre S^{n} hat für n ≥ 1 die Homologiegruppen

H_{q}(S^{n}) = \{ \begin{matrix}ℤ & für q = 0 und q = n \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Korollar: Die Sphären S^{n} und S^{m} sind nur dann homöomorph, wenn n = m ist.

Beweis: Falls zwei topologische Räume homöomorph sind, haben sie isomorphe Homologiegruppen; dies ist aber für Sphären positiver Dimension nach dem Lemma nur für n = m möglich. Die 0-Sphäre kann zu keiner Sphäre positiver Dimension homömorph sein, da sie endlich (und auch nicht zusammenhängend) ist.

Anwendungen der Homologietheorie 31

Korollar: ℝ^{n} und ℝ^{m} sind für n ≠ m nicht homöomorph.

Beweis: Wären ℝ^{n} und ℝ^{m} isomorph, so wären es auch ihre Alexandroff-Kompaktifizierungen (s. 4. Übungsblatt, Aufgabe 2). Die Alexandroff-Kompaktifizierung von ℝ^{n} mit n > 0 ist aber die n-Sphäre S^{n}: Identifiziert man den Nordpol N von S^{n} mit dem Punkt ∞, so wird S^{n} \ {N} über die stereographische Projektion homöomorph zu ℝ^{n}. Damit folgt die Behauptung für positives n aus dem gerade bewiesenen Lemma, und ℝ^{0} als einpunktige Menge kann natürlich nicht homöomorph zu einem anderen ℝ^{n} sein.

Dieses Korollar läßt sich leicht dahingehend verallgemeinern, daß man für größere Klassen toplogischer Räume einen unter Homöomorphie invarianten Dimensionsbegriff erklären kann; siehe dazu die zweite Aufgabe auf dem elften Übungsblatt.

Eine zweite wichtige Anwendung der Homologietheorie sind Fixpunktsätze. Ein möglicher Zugang dazu ist der Hopfsche Spursatz, der den Eulerschen Polyedersatz verallgemeinert. Um ihn zu formulieren, müssen wir zunächst für Homomorphismen von abelschen Gruppen eine Spur definieren, ähnlich zur Spur einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen. Da wir uns auf endliche Komplexe beschränken, reicht es, diese Spur für endlich erzeugbare abelsche Gruppen zu definieren; sei also A eine endlich erzeugbare abelsche Gruppe, und sei f: A → A ein Homomorphismus. Weiter sei {v_{1}, …, v_{r}} eine maximale linear unabhängige Teilmengen von A. Dann sind die f(v_{i}) nicht notwendigerweise darstellbar als Linearkombinationen der v_{i}, denn f(v_{i}) könnte endliche Ordnung haben, also schon für sich alleine linear abhängig sein. Auf jeden Fall ist aber ein ganzzahliges Vielfaches n_{i}f(v_{i}) eine Linearkombination der v_{i}, denn sonst wäre {v_{1}, …, v_{r}, f(v_{i})} eine linear unabhängige Menge. Daher können wir schreiben

n_{i}f(v_{i}) = ∑_{j=1}^{r} a_{ij}v_{j}.

Falls f(v_{i}) endliche Ordnung hat, ist dabei natürlich n_{i}f(v_{i}) = 0, also verschwindet a_{ij} = 0 für alle j. Offensichtlich sind die Quotienten c_{ij} = a_{ij}/n_{i} unabhängig von der Wahl von n_{i}, die Matrix (c_{ij}) hängt also nur ab von f und wir bezeichnen ihre Spur als Spur von f:

Spur(f) =_{def} ∑_{i=1}^{r} c_{ii} = ∑_{i=1}^{r} a_{ii}/n_{i} .

Dies ist gerade die Spur jener Abbildung f̃, die aus f entsteht durch Fortsetzung auf den ℝ-Vektorraum mit Basis {v_{1}, …, v_{r}}, sie entspricht also dem, was wir aus der linearen Algebra gewohnt sind. Aus diesem Grund ist sie auch unabhängig von der Wahl der v_{i}, denn die Spur einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen ist die Summe der Eigenwerte dieser Abbildung und damit unabhängig von der Basis.

Definition: f: X → X sei eine stetige Selbstabbildung des kompakten triangulierbaren Raums X, und f_{∗q} seien die auf der Homologie von X induzierten linearen Abbildungen. Die Lefschetz-Zahl von f ist

Λ(f) = ∑_{q≥0}(−1)^{q}Spur(f_{∗q}).

In völliger Analogie zum Beweis des Eulerschen Polyedersatzes folgt nun der

Spursatz von Hopf: φ: C(K) → C(K) sei eine simpliziale Selbstabbildung des endlichen simplizalen Komplexes K. Dann ist

∑_{q≥0}(−1)^{q}Spur(φ_{q}) = Λ(|φ|).

Beweis: Zunächst überlegt man sich leicht, daß jeder Homomorphismus abelscher Gruppen h: A → A, der die Untergruppe B auf sich selbst abbildet, ein Homomorphismus h̄: A/B → A/B induziert und daß gilt

Spur(h) = Spur(h_{|B}) + Spur(h̄).

Nun geht alles genauso weiter wie beim Eulerschen Polyedersatz: Da Z_{q}(𝔎) der Kern von ∂_{q} ist und B_{q−1}(𝔎) das Bild, ist

C_{q}(𝔎)/Z_{q}(𝔎) ≅ B_{q−1}(𝔎),

also

Spur(φ_{q}) = Spur(φ_{q|Z_{q}(𝔎)}) + Spur(φ_{q−1|B_{q−1}(𝔎)}),

und aufgrund der Definition H_{q}(𝔎) = Z_{q}(𝔎)/B_{q}(𝔎) ist

Spur(φ_{q|Z_{q}(𝔎)}) = Spur(φ_{∗q}) + Spur(φ_{q|B_{q}(𝔎)})
= Spur(f_{∗q}) + Spur(φ_{q|B_{q}(𝔎)}).

Mithin ist

Spur(f_{∗q}) = Spur(φ_{q}) − Spur(φ_{q−1|B_{q−1}(𝔎)}) − Spur(φ_{q|B_{q}(𝔎)}),

wobei formal B_{−1}(𝔎) = 0 zu setzen ist. Bildet man die alternierende Summe, so heben sich wegen B_{n}(𝔎) = 0 die Spuren auf den Gruppen der Ränder gerade weg, womit die Behauptung gezeigt wäre.

Der folgende Satz erlaubt es in vielen Fällen, die Existenz eines Fixpunkts zu zeigen:

Satz: Falls die stetige Selbstabbildung f: X → X des kompakten triangulierbaren Raums X keinen Fixpunkt hat, ist Λ(f) = 0.

Beweis: K sei ein geometrischer simplizialer Komplex, der X trianguliert, und g sei die durch den Homöomorphismus X → |K| induzierte stetige Selbstabbildung |K| → |K|. Dann hat auch g keinen Fixpunkt, für jeden Punkt P ∈ |K| ist also der Abstand d(P, g(P)) positiv. Da |K| kompakt ist, gibt es daher eine Zahl ε > 0, so daß d(P, g(P)) ≥ ε für alle P ∈ |K|. Indem wir zu einer baryzentrischen Unterteilung von K übergehen, können wir o.B.d.A. annehmen, daß die Maschenweite von K kleiner als ε/3 ist.

Wie wir aus dem letzten Paragraphen wissen, hat g für hinreichend großes r eine simpliziale Approximation φ: K^{(r)} → K, und damit gibt es auch Gruppenhomomorphismen

φ_{q}: C_{q}(K^{(r)}) → C_{q}(K).

Im fünften Schritt der Konstruktion aus §10 haben wir zur Sperner-Abbildung ω: K′ → K eine Kettenabbildung C_{q}(K) → C_{q}(K′) definiert, die im wesentlichen jedem Simplex die Summe seiner Unterteilungssimplizes zuordnet; wenn wir mit r solchen Abbildungen schachteln, erhalten wir aus φ eine Kettenabbildung ψ: C(K) → C(K), die auf der Homologie diesselbe Abbildung induziert wie φ. Wir wollen einsehen, daß Spur(ψ_{q}) für alle q verschwindet; daraus folgt dann natürlich sofort die Behauptung des Satzes.

Sei also t ein q-Simplex aus K und P ein Punkt aus t. Da die Maschenweite von K kleiner als ε/3 ist und φ die Abbildung g simplizial approximiert, ist d(|φ|(P), g(P)) < ε/3. Andererseits ist nach Definition von ε der Abstand d(P, g(P)) > ε, also d(P, |φ|(P)) > 2ε/3. Für einen beliebigen Punkt Q aus t, dessen Abstand von P ja höchstens ε/3 sein kann, ist also immer noch d(Q, |φ|(P)) > ε/3, daher ist |φ|(t) ∩ t = ∅. Damit ist auch für jedes Simplex s aus K^{(r)}, das in t liegt, |φ|(s)∩t = ∅, also ist φ_{q}(s) ≠ t und t tritt nicht auf in der Kette ψ_{q}(t), die ja gerade die Summe der φ_{q}(s) ist. Also kommt kein Simplex t aus K in ψ_{q}(t) vor, der entsprechende Koeffizient in der Diagonale der Matrix von ψ_{q} ist also stets Null, und damit verschwindet auch die Spur von ψ_{q}, wie behauptet.

Als unmittelbare Anwendung erhalten wir den

Fixpunktsatz von Brauer: Jede stetige Abbildung f: B^{n} → B^{n} der Kugel auf sich selbst hat mindestens einen Fixpunkt.

Beweis: Da H_{q}(B^{n}) = 0 für q > 0, ist Λ(f) gleich der Spur von f_{∗0} auf H_{0}(B^{n}) ≅ ℤ. Ist aber φ: K^{(r)} → K eine simpliziale Approximation von f, so wird H_{0}(K) erzeugt von der Homologieklasse irgendeiner Ecke P aus K, und φ_{∗0}([P]) = [φ_{0}(P)] = [P], da je zwei Ecken durch einen Kantenzug in K verbunden werden können. Daher ist φ_{∗0} die Identität und hat somit Spur eins, also ist Λ(f) = 1 von Null verschieden, und der Satz folgt aus dem davor bewiesenen.

Auch für die Sphäre ist H_{0}(S^{n}) ≅ ℤ, und für jede Abbildung f: S^{n} → S^{n} ist f_{∗0} die Identität, hat also Spur eins. Die einzige weitere nichttriviale Homologiegruppe ist H_{n}(S^{n}) ≅ ℤ; sie wird erzeugt von der Klasse c der Summe aller n-Simplizes eines Komplexes, der S^{n} trianguliert.

Definition: Der Grad deg(f) einer stetigen Abbildung f: S^{n} → S^{n} ist jene ganze Zahl, für die f_{∗n}(c) = deg(f) · c ist.

Dann folgt natürlich sofort

Satz: Die Lefschetz-Zahl einer stetigen Abbildung f: S^{n} → S^{n} ist Λ(f) = 1+(−1)^{n} deg(f); falls f keinen Fixpunkt hat, ist also deg(f) = (−1)^{n+1}.

Ein einfaches Beispiel einer fixpunktfreien Abbildung f: S^{n} → S^{n} ist die Antipoden-Abbildung, die jedem Punkt sein Bild unter der Spiegelung am Mittelpunkt der Kugel zuordnet. Diese Abbildung hat offensichtlich keinen Fixpunkt auf S^{n}, ihr Grad ist also (−1)^{n+1}.

Satz: Eine stetige Abbildung f: S^{n} → S^{n} mit deg(f) ≠ 0 ist surjektiv.

Beweis: Angenommen, f sei nicht surjektiv. Da f(S^{n}) auf jeden Fall kompakt ist, gibt es dann eine abgeschlossene Teilmenge A ⊂ S^{n} mit positivem Durchmesser δ, so daß A nicht im Bild liegt. Der Komplex K sei eine Triangulierung von S^{n} mit Maschenweite kleiner δ/3, und c sei die Summe aller n-Simplizes aus K. Dann folgt genau wie beim Beweis, daß Λ(f) = 0 für fixpunktfreie Abbildungen, daß es in A ein n-Simplex gibt, das nicht in der Kette f_{∗n}(c) auftritt. Da f_{∗n}(c) aber jedes n-Simplex mit gleicher Vielfachheit enthält, muß f_{∗n}(c) = 0 sein, also deg(f) = 0, wie behauptet.

Als Beispiel können wir etwa ein Polynom n-ten Grades

f(z) = a_{n}z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0}, a_{n} ≠ 0

mit komplexen Koeffizienten a_{i} betrachten. Die dadurch definierte Abbildung f: ℂ → ℂ läßt sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung f̂: ℂ̂ → ℂ̂ der Riemannschen Zahlenkugel ℂ̂ = ℂ ∪ {∞}; diese wiederum ist homöomorph zu S^{2}. Falls wir nun wüßten, daß deg(f̂) ≠ 0 ist, würde folgen, daß f̂ surjektiv ist, insbesondere würde also der Wert Null angenommen, und das bedeutet wegen f̂(∞) = ∞, daß f eine Nullstelle hat – wir hätten also den Fundamentalsatz der Algebra bewiesen.

Für das spezielle Polynom f(z) = a_{n}z^{n} können wir den Grad leicht ausrechnen: Da die Gleichung z^{n} = w/a_{n} für w ≠ 0 genau n Lösungen hat, ist in diesem Fall deg(f) = n. Für ein beliebiges Polynom nten Grades können wir nur dann so argumentieren, wenn wir den Fundamentalsatz der Algebra voraussetzen; für seinen Beweis müssen wir uns also etwas anderes einfallen lassen.

Die neue Idee ist folgende: Wir können ein beliebiges Polynom f vom Grad n deformieren in das spezielle Polynom a_{n}z^{n} durch die Abbildung

F: \{ \begin{matrix}[0, 1] × ℂ → ℂ \\ (t, z) ↦ ta_{n}z^{n} + (1 − t)f(z), \end{matrix}

für die F (0, z) = f(z) und F (1, z) = z^{n} ist für alle z. Diese Abbildung kann fortgesetzt werden zu einer stetigen Abbildung

F: [0, 1] × ℂ̂ → ℂ̂,

wobei F (t, ∞) = ∞ für alle t: Um deren Stetigkeit in ∞ zu zeigen, können wir einfach die Kugel am Äquator spiegeln und dadurch ∞ mit Null vertauschen; die Funktion, deren Stetigkeit im Nullpunkt für alle t dann nachzurechnen ist, ist

\begin{aligned}G(t, w) & = \frac{1}{ta_{n}w^{−n} + (1 − t)f(1/w)} \\ & = \frac{w^{n}}{a_{n} + (1 − t)(a_{n−1}w + ⋯ + a_{0}w^{n})} , \end{aligned}

und diese Funktion ist wegen a_{n} ≠ 0 in der Tat überall stetig in einer Umgebung von w = 0.

Wenn wir zeigen können, daß sich der Grad bei einer solchen Deformation nicht ändert, ist der Fundamentalsatz der Algebra bewiesen. Diese Invarianz des Grades wollen wir gleich etwas allgemeiner beweisen; der Homotopiebegriff, den wir dazu einführen, wird uns auch noch für andere Anwendungen nützlich sein.

Definition: Zwei stetige Abbildungen f, g: X → Y zwischen zwei topologischen Räumen X und Y heißen homotop, in Zeichen f ≃ g, wenn es eine stetige Abbilung F: [0, 1] × X → Y gibt, so daß gilt: F (0, x) = f(x) und F (1, x) = g(x) für alle x ∈ X.

Satz: X und Y seien kompakte triangulierbare topologische Räume, und f, g: X → Y seien zueinander homotope stetige Abbildungen. Dann ist f_{∗q} = g_{∗q} für alle q.

Beweis: Wir können o.B.d.A. annehmen, daß X und Y Polyeder sind; sie seien gegeben durch die geometrischen simplizialen Komplexe K und L. Weiter sei δ die Lebesgue-Zahl zur Überdeckung von Y durch die Sterne der Ecken von L; da die Abbildung F: [0, 1]×X → Y stetig ist auf einer kompakten Menge, ist sie gleichmäßig stetig, es gibt also ein ε > 0, so daß gilt

|t_{2} − t_{1}| < ε ⇒ |F (x, t_{2}) − F (x, t_{1})| < δ/3 für alle x ∈ X.

Wir wählen eine Unterteilung

0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{r} = 1

des Einheitsintervalls derart, daß |t_{i} − t_{i−1}| < ε für i = 1, …, n und setzen f_{i}(x) = F (t_{i}, x) für alle i. Natürlich genügt es, wenn wir zeigen, daß (f_{i−1})_{∗q} = (f_{i})_{∗q} für alle i und q.

Setzen wir der Einfachheit halber h = f_{i−1} und k = f_{i}; nach Konstruktion ist |k(x) − h(x)| < δ/3 für alle x.

Die Behauptung, daß h_{∗q} = k_{∗q} für alle q, folgt natürlich sofort, wenn wir wissen, daß h und k eine gemeinsame simpliziale Approximation haben, und genau das soll nun gezeigt werden:

Q_{1}, …, Q_{ℓ} seien die Ecken von L. Dann haben wir zu jedem Q_{i} den Stern st(Q_{i}) , und darin die offene Teilmenge

V_{i} = {Q ∈ Y | d(Q, |L| \ st(Q_{i})) > δ/3},

die aus allen jenen Punkten des Sterns besteht, die einen hinreichend großen Abstand vom Rand des Stern haben. Die V_{i} sind immer noch groß genug, um ganz Y zu überdecken: Ist nämlich Q ein beliebiger Punkt von Y, so hat die abgeschlossene δ/3-Umgebung von Q einen Durchmesser kleiner δ, liegt also nach Wahl von δ ganz in einem der Sterne st(Q_{j}) , und ihr Mittelpunkt Q hat somit mindestens den Abstand δ/3 von jedem Punkt aus Y, der nicht in st(Q_{j}) liegt.

Da die V_{i} somit eine Überdeckung von Y bilden, bilden ihre Urbilder h^{−1}(V_{i}) eine offene Überdeckung von X; deren Lebesgue-Zahl sei ε. Dazu gibt es, wie wir im letzten Paragraphen gesehen haben, eine baryzentrische Unterteilung K^{(n)} von K, deren Maschenweite kleiner ist als ε. Wir approximieren h durch eine simpliziale Abbildung φ: K^{(n)} → L, die jeder Ecke P aus K^{(n)} irgendeine Ecke Q_{i} von L zuordnet, so daß st(P) ⊂ h^{−1}(V_{i}) ist. Diese Abbildung ist auch eine simpliziale Approximation von k, denn da h(P) und φ(P) beide in V_{i} liegen und k(P) höchstens den Abstand δ/3 von h(P) hat, liegt auch k(P) im Stern von Q_{i} = φ(P). Damit ist der Satz bewiesen.

Damit zurück zum Fundamentalsatz der Algebra: Ein Polynom

f(z) = a_{n}z^{n} + a_{n−1}z^{n−1} + ⋯ + a_{1}z + a_{0}, a_{n} ≠ 0

vom Grad n, aufgefaßt als Funktion auf der Riemannschen Zahlenkugel, ist – wie wir schon vor der Definition des Homotopiebegriffs gesehen haben – homotop zur Abbildung z ↦ a_{n}z^{n} vom Grad n, hat also auch topologisch den Grad n ≠ 0 und ist somit surjektiv. Insbesondere folgt der

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom positiven Grades mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Doch nun zu den eigentlichen Anwendungen der Homotopie! Als erstes erlaubt sie es uns, eine größere ”Deformationsinvarianz“ der Homologie zu zeigen, als wir sie bislang kennen:

Definition: Zwei topologische Räume X und Y heißen homotop, in Zeichen X ≃ Y, falls es stetige Abbildungen f: X → Y und g: Y → X gibt, so daß g ∘ f homotop zur Identität von X ist und f ∘ g homotop zur Identität von Y. Ein topologischer Raum X heißt zusammenziehbar, wenn er homotop zum einpunktigen topologischen Raum ist.

Falls wir anstelle der Homotopie zur Identität Gleichheit verlangt hätten, wäre dies gerade die Definition der Homöomorphie, Homöomorphie ist also ein Spezialfall der Homotopie. Homotopie ist allerdings sehr viel allgemeiner; beispielsweise gilt

Lemma: Die n-dimensionale Vollkugel B^{n} ist zusammenziehbar.

Beweis: f sei die Identität von

B^{n} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ ℝ^{n} | x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n}^{2} ≤ 1},

und g sei die konstante Abbildung, die jeden Punkt auf den Nullpunkt abbildet. Dann ist f ∘g die Identität auf der einpunktigen Menge, und g ∘ f = g ist homotop zur Identität auf B^{n} via F (t, x) = tx.

Genauso überlegt man sich leicht, daß auch jeder ℝ^{n} zusammenziehbar ist, nicht aber beispielsweise eine Sphäre, denn natürlich gilt Satz: Homotope topologische Räume haben isomorphe Homologiegruppen; insbesondere haben zusammenziehbare topologische Räume triviale Homologie.

Dieser Satz läßt sich häufig anwenden, um die Berechnung von Homologiegruppen zu vereinfachen. Betrachten wir etwa den Zylinder und das Moebiusband. Beide sind definiert als Quotienten des Quadrats, das wir hier am besten in der Form

Q = [0, 1] × [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]

darstellen; für den Zylinder wird der Punkte (0, y) identifiziert mit (1, y), für das Moebiusband mit (1, −y). Beide topologische Räume enthalten die Kreislinie als die durch y = 0 definierte Teilmenge, und beide sind homotop zur Kreislinie, wie man sich leicht überzeugt anhand der Abbildung

F (t, (x, y)) = (x, ty).

Also haben beide Räume dieselbe Homologie wie S^{1}, die nullte und erste Homologiegruppe sind also isomorph zu ℤ, und alle anderen sind Null.

Eine weitere Anwendung des gerade bewiesenen Satzes ist eine Verallgemeinerung des Brauerschen Fixpunktsatzes:

Satz: Für ein zusammenziehbares Polyeder X hat jede stetige Abbildung f: X → X mindestens einen Fixpunkt.

Beweis: Da X zusammenziehbar ist, ist H^{0}(X) ≅ ℤ, und alle höheren Homologiegruppen verschwinden. Also können wir wörtlich genauso argumentieren wie beim Brauerschen Fixpunktsatz.

Zum Abschluß betrachten wir noch eine weitere Anwendung der Homotopie auf Abbildungen von Sphären, die auch wieder vor allem für die Algebra interessant ist. Ausgangspunkt dazu ist der Satz: Für gerade Dimensionen n gibt es keine stetige Abbildung f: S^{n} → S^{n} derart, daß die Punktvektoren von x und f(x) für jedem Punkt x ∈ S^{n} aufeinander senkrecht stehen.

Beweis: Angenommen, es gäbe eine solche Abbildung f. Wir betrachten S^{n} als Einheitskugel in ℝ^{n+1}. Dann hat der Vektor

F (t, x) = (1 − t)f(x) + tx ∈ ℝ^{n+1}

die Länge (1 − t)^{2} + t^{2} > 0,

G(t, x) = \frac{F (t, x)}{|F (t, x)|}

liegt also in S^{n} und vermittelt eine Homotopie zwischen f und der Identität. Da die Identität den Grad eins hat, ist auch

deg(f) = 1 ≠ (−1)^{n+1},

f hat also mindestens einen Fixpunkt, was wegen der Orthogonalität von x und f(x) absurd ist.

Im Spezialfall n = 2 formuliert man dieses Resultat auch gelegentlich als

Satz vom Igel: Einen Igel kann man nicht kämmen.

In der Tat: Könnte man ihn kämmen, so wären die Stacheln in jedem Punkt parallel zur Schale, stünden also senkrecht auf dem Ortsvektor, und wir hätten eine der Abbildungen, deren Nichtexistenz wir gerade gezeigt haben.

Für ungerades n ist

f: \{ \begin{matrix}S^{n} → S^{n} \\ (x_{0}, x_{1}, …, x_{2j}, x_{2j+1}, …, x_{n−1}, x_{n}) \\ ↦ (−x_{1}, x_{0}, …, −x_{2j+1}, x_{2j}, …, −x_{n}, x_{n−1}) \end{matrix}

eine Abbildung, für die x und f(x) in jedem Punkt aufeinander senkrecht stehen, hier gibt es also solche Abbildungen. Für die Algebra sehr interessant ist die Frage, ob es vielleicht sogar n Funktionen f_{1}, …, f_{n} auf S^{n} gibt, so daß alle f_{i}(x) senkrecht stehen auf x und auf allen f_{j}(x) für j ≠ i. In diesem Fall nennen wir S^{n} parallelisierbar. Geometrisch betrachten bilden die f_{i}(x) in diesem Fall in jedem Punkt x ∈ S^{n} eine Basis des Tangentialraums (den ich hier nicht definieren möchte).

Man kann leicht zeigen, daß S^{1}, S^{3} und S^{7} parallelisierbar sind, denn für n = 1, 3 und 7 lassen sich auf ℝ^{n+1} eine ”Multiplikation“ und eine ”Division“ erklären: Für ℝ^{2} ist das die komplexe Multiplikation, für n = 4 die (nicht mehr kommutative) Multiplikation der Hamiltonschen Quaternionen, und für n = 8 die (nicht einmal mehr assoziative) Multiplikation der Cayleyschen Oktaven. Allgemein wollen wir unter einer Multiplikation eine bilineare Abbildung ·: ℝ^{n+1}×ℝ^{n+1} → ℝ^{n+1} verstehen mit der Eigenschaft, daß man durch jedes Element ungleich Null sowohl von links als auch von rechts dividieren kann

Gibt es eine solche Multiplikation, und ist {e_{0}, …, e_{n}} eine Basis von ℝ^{n+1}, wobei o.B.d.A. e_{0} = 1 sei, so sind für jeden Punkt x ∈ S^{n} ⊂ ℝ^{n+1} die Vektoren e_{i}x linear unabhängig voneinander, denn ist

∑_{i=0}^{n} λ_{i} e_{i} · x = 0

für irgendwelche λ_{i} ∈ ℝ, so können wir durch x dividieren und erhalten ∑ λ_{i}e_{i} = 0, was natürlich nur für λ_{i} = 0 möglich ist. Also bilden die e_{i}x für jedes x eine Basis, die wir orthonormalisieren können zu einer Orthonormalbasis {f_{0}(x), …, f_{n}(x)}, für die immer noch f_{0}(x) = x ist und f_{i}(x) stetig abhängt von x. Also folgt

Satz: S^{1}, S^{3} und S^{7} sind parallelisierbar.

Umgekehrt folgt auch aus der Nichtparallelisierbarkeit von S^{n} für gerades n > 0 (Was passiert für n = 0?)

Satz: Für ungerades n > 1 kann man auf ℝ^{n} keine Multiplikation erklären, zu der es auch eine Division gibt. Insbesondere läßt sich auf ℝ^{3} keine solche multiplikative Verknüpfung erklären.

Denn wenn es eine solche Verknüpfung gäbe, könnten wir wie oben argumentieren und die Parallelisierbarkeit von S^{n−1} zeigen, obwohl es tatsächlich nicht einmal eine einzige Funktion f(x) gibt, so daß f(x) stets senkrecht auf x steht.

Für gerades n kennen wir die Gegenbeispiele n = 2, 4 und 8, und damit muß die Algebra passen. Auf der topologischen Seite konnte aber Hopf 1940 zeigen, daß S^{n} nur dann parallelisierbar sein kann, wenn n + 1 eine Zweipotenz ist, und 1958 bewiesen Kervair und Milnor unabhängig voneinander, daß sogar n = 1, 3 oder 7 sein muß. Damit ist mit topologischen Methoden gezeigt, daß es außer den drei bekannten keine weiteren Fortsetzungen der reellen Multiplikation auf einen ℝ^{n} geben kann.

Literaturhinweise

Das meiste in dieser Zusammenfassung habe ich übernommen aus

Jörg Mayer: Algebraic Topology, Prentice-Hall 1972 Ebenfalls sehr nützlich war das Standardwerk zur algebraischen Topologie

Edwin H. Spanier: Algebraic Topology, McGraw-Hill 1966 Den Zusammenhang mit Multiplikation und Division in ℝ^{n} findet man bei

Friedrich Hirzebruch: Divisionsalgebren und Topologie in: Ebbinghaus, Hermes, Hirzebruch, Koecher, Mainzer,

Prestel, Remmert: Zahlen, Springer 1983

Ende

Ich wünsche allen Hörern der Vorlesung

Frohe Ferien

Wolfgang K. Seiler