ART/UMFANG: Vorlesung 4 SWS
ANGEBOTEN: Sommersemester 1995
INHALT: Nichtlineare Differentialgleichungen umspannen ein gewaltiges Gebiet, angefangen von einfachsten elementar integrierbaren Gleichungen wie etwa y'= c y (1-y) bis hin zu Systemen mit chaotischen Verhalten. Da die meisten nichtlineare Differentialgleichungen nicht in geschlossener Form gelöst werden können, besteht das Hauptproblem in der qualitativen Analyse des Verhaltens von Lösungen, der Klassifikation von Verhaltenstypen und der Lösungsstruktur spezieller Gleichungen. Auf allen diesen Gebieten gab es in der letzten Zeit bedeutende Forschritte, die beispielsweise dazu führten, das auf dem internationalen Mathematikerkongreß im letzten August drei der vier Fieldsmedaillen an Mathematiker gingen, die für Arbeiten über nichtlineare Differentialgleichungen ausgezeichnet wurden.
Die Vorlesung beginnt mit einem Kapitel, in dem exemplarisch typische nichtlineare Differentialgleichungen behandelt werden wie etwa Raubtier-Beutetiergleichungen, das Prinzip ökologischer Nischen oder die Polumkehr beim Magnetfeld der Erde.
Als nächstes soll die qualitative Theorie dieser Differentialgleichungen etwas systematischer behandelt werden; die beiden fundamentalen Themen sind Stabilität und Störungsmethoden: Stabilitätsaussagen geben Auskunft darüber, inwieweit etwa eine numerische Lösung der Gleichung tatsächlich etwas über das wirkliche Verhalten eines Systems aussagt, ob es periodische Lösungen gibt, ob mit Chaos zu rechnen ist usw.; insbesondere liefern sie auch Kriterien dafür, wie numerische Verfahren eingesetzt werden müssen, um zu sinnvollen Ergebnissen zu führen.
Störungsmethoden benutzen die Tatsache, daß viele für die Anwendungen wichtige nichtlineare Differentialgleichungen als "gestörte" Versionen von in geschlossener Form lösbaren linearen Differentialgleichungen betrachtet werden können und es - zumindest bei kleinen Störungsparametern - möglich ist, dann auch die Lösungen als Störungen von Lösungen der linearen Gleichung zu betrachten. Bei größeren Parametern ändert sich das Bild: Hier können sogenannte Bifurkationen auftreten, die die qualitative Struktur der Lösung ändern und schließlich zum Chaos führen. Auch dieser Prozeß ist inzwischen für viele Fälle recht gut verstanden.
GEDACHT FÜR: Studierende der Mathematik im Hauptstudium
VORAUSSETZUNGEN: Vordiplom
LITERATUR: