INHALT: Die Höhere Mathematik II setzt die Höhere Mathematik I aus dem Sommersemester fort. Die Hauptthemen sind Integraltransformationen, Differentialgleichungen, Optimierung und Statistik.
Im Kapitel über Integraltransformationen geht es zunächst um die harmonische Analyse, d.h. die Zerlegung einer periodischen Funktion in reine Schwingungen. Daraus abgeleitet wird die Fouriertransformation, die auch geeignete nichtperiodische Funktionen aus reinen Schwingungen zusammensetzt und die sowohl in der Signalverarbeitung als auch in der Optik eine herausragende Rolle spielt. Eine Variante der Fouriertransformation, die Laplacetransformation, spielt ebenfalls eine große Rolle in der Elektrotechnik und auch im nächsten Kapitel über Differentialgleichungen.
Differentialgleichungen gestatten es, das künftige Verhalten eines Systems aus dem gegenwärtigen Zustand und den Naturgesetzen abzuleiten; sie zählen daher zu den wichtigsten Anwendungen der Mathematik in den Naturwissenschaften und der Technik. In der Vorlesung werden zunächst Schwingungsdifferentialgleichungen behandelt und in diesem Zusammenhang die elementaren Funktionen wiederholt, danach geht es um Systeme linearer Differentialgleichungen. Zu der Lösung werden zusätzliche Techniken aus der linearen Algebra benötigt, insbesondere Eigenwerte, Eigenvektoren und Hauptvektoren, mit deren Hilfe eine quadratische Matrix diagonalisiert bzw. zu einer Dreiecksmatrix gemacht werden kann. Zum Schluß soll noch kurz auf nichtlineare Differentialgleichungen und Chaos eingegangen werden.
Im letzten Kapitel der Vorlesung geht es noch einmal um mehrdimensionale Analysis, wobei insbesondere auch die im Sommer nicht mehr behandelten Integralsätze von Green, Gauß und Stokes nachgeholt werden sollen. Ansonsten ist das Hauptthema dieses Kapitels Optimierung, d.h. das mehrdimensionale Analogon der aus der Schule bekannten Extremwertaufgaben. Für lineare Funktionen gibt es dazu den in der Numerik I behandelten Simplexalgorithmus; hier in der Höheren Mathematik geht es um Lagrangesche Multiplikatoren und die Kuhn-Tucker-Bedingungen für die Optimierung nichtlinearer Funktionen auf einer vorgegebenen Teilmenge des Rn.
Eine wichtige Anwendung solcher Methoden ist die Fehler- und Ausgleichsrechung, die auch für das Meßtechnische Praktikum im Sommer von Bedeutung sein wird. Um die statistischen Grundlagen zu verdeutlichen, wird zunächst ausgehend vom Laplaceschen Fehlermodell die Normalverteilung hergeleitet, sodann über das Fehlerfortpflanzungsgesetz der Fehler abgeleiteter Größen bestimmt. Die maximum likelihood Methode zusammen mit Optimierungsmethoden wird es dann gestatten, Zusammenhänge zwischen nur näherngsweise bekannten Größen zu bestimmen. Wichtigstes Beispiel ist die lineare Regression, die zur zumindest graphisch wohlbekannten Ausgleichsgeraden führt.
angeboten, in denen ich die Übungsaufgaben der betreffenden Woche vorrechnen werde; außerdem
in denen Herr Buck und Herr Reichel vorrangig Fragen einzelner Studenten zur Vorlesung beantworten und zusätzliche Beispiele zur Klärung des Vorlesungsstoffs behandeln werden.
Literatur: Parallel zur Vorlesung wird ein Skriptum erscheinen, das sich voraussichtlich nur gerngfügig von dem des Vorjahrs unterscheiden wird; außerdem sind alle im HM I Skriptum angegebenen Bücher weiterhin nützlich.