INHALT: Die Höhere Mathematik II setzt die Höhere Mathematik I aus dem Sommersemester fort. Hauptthemen sind die harmonische Analyse, Integraltransformationen, Differentialgleichungen, Optimierung und Statistik.
Im Kapitel über Integraltransformationen geht es zunächst um die harmonische Analyse, d.h. die Zerlegung einer periodischen Funktion in reine Schwingungen. Daraus abgeleitet wird die Fouriertransformation, die auch geeignete nichtperiodische Funktionen aus reinen Schwingungen zusammensetzt und die sowohl in der Signalverarbeitung als auch in der Optik eine herausragende Rolle spielt. Eine Variante der Fouriertransformation, die Laplacetransformation, spielt eine große Rolle in der Elektrotechnik und auch im nächsten Kapitel über Differentialgleichungen.
Differentialgleichungen gestatten es, das künftige Verhalten eines Systems aus dessem gegenwärtigen Zustand und den Naturgesetzen abzuleiten; sie zählen daher zu den wichtigsten Anwendungen der Mathematik in den Naturwissenschaften und der Technik. In der Vorlesung werden zunächst Schwingungsdifferentialgleichungen behandelt und in diesem Zusammenhang die elementaren Funktionen wiederholt, danach geht es um Systeme linearer Differentialgleichungen. Zu deren Lösung werden zusätzliche Techniken aus der linearen Algebra benötigt, insbesondere Eigenwerte, Eigenvektoren und Hauptvektoren, mit deren Hilfe eine quadratische Matrix diagonalisiert bzw. zu einer Dreiecksmatrix gemacht werden kann. Zum Schluß soll noch kurz auf nichtlineare Differentialgleichungen und Chaos eingegangen werden.
Bei der Optimierung geht es um das mehrdimensionale Analogon der aus der Schule bekannten Extremwertaufgaben. Für lineare Funktionen gibt es dazu den in der Numerik I behandelten Simplexalgorithmus; hier in der Höheren Mathematik geht es um Lagrangesche Multiplikatoren und die Kuhn-Tucker-Bedingungen für die Optimierung nichtlinearer Funktionen auf einer vorgegebenen Teilmenge des Rn.
Das letzte Kapitel schließlich behandelt Fragen aus der Statistik sowie der Fehler- und Ausgleichsrechnung. Ausgehend vom Laplaceschen Fehlermodell wird die Normalverteilung hergeleitet, über das Fehlerfortpflanzungsgesetz der Fehler abgeleiteter Größen bestimmt, und mittels der maximum likelihood Methode werden Zusammenhänge zwischen Größen hergeleitet. Wichtigstes Beispiel ist die lineare Regression, die zur zumindest graphisch wohlbekannten Ausgleichsgeraden führt.
angeboten, in denen ich die Übungsaufgaben der betreffenden Woche vorrechnen werde; außerdem
in denen vorrangig Fragen einzelner Studenten zur Vorlesung beantwortet und zusätzliche Beispiele zur Klärung des Vorlesungsstoffs behandelt werden.