Wolfgang K. Seiler

Funktionentheorie I

Vorlesung an der Universität Mannheim im Sommersemester 1993 1. Komplexe Zahlen ................................................. 1 2. Holomorphe Funktionen ........................................ 17 3. Meromorphe Funktionen ........................................ 56

Anhang: Der Jordansche Kurvensatz .......................... 104 4. Einige spezielle Funktionen .................................... 118

§1: Komplexe Zahlen

Die Grundregeln über den Umgang mit komplexen Zahlen dürften wohl den meisten Lesern bereits bekannt sein, sollen aber zur Wiederholung, und auch weil sie die Grundlage der gesamten Funktionentheorie bilden, hier noch einmal kurz dargestellt werden:

Definition: ℂ ist der Vektorraum ℝ^{2} = ℝ1 ⊕ ℝi mit ausgezeichneter Basis {1, i}, zusammen mit der Multiplikationsabbildung

·: \begin{cases}ℂ & × & ℂ & → & ℂ \\ ( & (a_{1}1+ b_{1}i) & , & (a_{2}1+ b_{2}i) & ) & ↦ & (a_{1}a_{2} − b_{1}b_{2})1+ (a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1})i. \end{cases}

Damit ist ℂ zunächst als Vektorraum über ℝ definiert. Diese Betrachtungsweise wird im folgenden noch häufig sehr nützlich sein, sie entspricht aber nicht dem Standpunkt, der in dieser Vorlesung vorherrschen wird: Hier interessiert ℂ vor allem als ein Zahlbereich, in dem sowohl die üblichen Rechenoperationen ausführbar sind als auch Begriffe wie Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit, usw. definierbar sind. Hier im ersten Paragraphen soll es darum gehen, diese Operationen und Begriffe über die aus Analysis und linearer Algebra bekannten Eigenschaften des ℝ^{2} einzuführen. Dabei wird es von fundamentaler Bedeutung sein, daß wir ℂ auf mindestens drei verschiedene Weisen betrachten können, nämlich

– als zweidimensionalen Vektorraum über ℝ

– als euklidische Ebene mit ihrer klassischen Geometrie

– als eigenständigen Zahlbereich. In der Funktionentheorie sollten immer alle drei Aspekte simultan betrachtet werden, und jedes Teilproblem unter dem für dieses Problem nützlichsten Gesichtspunkt gelöst werden.

2 Funktionentheorie I SS1993

Aus der Symmetrie der Multiplikationsformel in den beiden Indizes folgt sofort, daß die Multiplikation in ℂ kommutativ ist mit 1 als Einselement. Tatsächlich gilt sogar für jedes λ ∈ ℝ

λ1· (a1+ bi) = (λa1+ λbi) = λ(a1+ bi) ,

wobei rechts die gewöhnliche Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor steht. Daher können wir den Untervektorraum ℝ1 von ℂ mit dem Körper ℝ der reellen Zahlen identifizieren; insbesondere kann 1 mit der reellen Zahl 1 identifiziert werden und die Elemente von ℂ können einfacher in der Form a+bi geschrieben werden. Da die Abbildung · auf ℝ mit der reellen Multiplikation übereinstimmt, und auch die Multiplikation einer reellen Zahl mit einer komplexen das gleiche ist wie die Multiplikation eines Skalars mit einem Vektor, stimmen alle Multiplikationsbegriffe miteinander überein und wir können in Zukunft einfach zw anstelle von z · w schreiben. Entsprechend soll z^{n} für das n-fache Produkt von z mit sich selbst stehen, wobei n, sobald wir dividieren können, auch eine negative Zahl sein darf. Für i gilt natürlich die bekannte Formel i^{2} = −1 .

Da auch (−i)^{2} = −1 ist, läßt ℂ eine Symmetrie zu, die komplexe Konjugation

: \begin{cases}ℂ & → & ℂ \\ (a + bi) & ↦ & a − bi. \end{cases}

Sie ist offensichtlich eine lineare Abbildung, darüber hinaus rechnet man leicht nach, daß sie auch mit der Multiplikation verträglich ist, d.h.

\overline{zw} = \overline{z} \overline{w} ∀z, w ∈ ℂ.

Genauso einfach folgt, daß für z = a + bi ∈ ℂ

z\overline{z} = a^{2} + b^{2}

eine nichtnegative reelle Zahl ist, das Quadrat der euklidischen Norm des Vektors z. Da wir z im folgenden meist als Zahl betrachten wollen, führen wir dafür und für die Komponenten von z eine neue Terminologie ein:

Komplexe Zahlen 3

Definition: Ist z = a+ib eine komplexe Zahl, so bezeichnen wir die reelle Zahl a = Re z als Realteil von z und b = Im z als Imaginärteil. Die nichtnegative Wurzel |z| = \sqrt{z\overline{z}} = \sqrt{a^{2} + b^{2}} heißt Betrag von z.

Für eine komplexe Zahl w ≠ 0 ist |w| eine von Null verschiedene reelle Zahl; daher ist für jedes z ∈ ℂ auch \frac{1}{|w|^{2}} z\overline{w} eine wohldefinierte komplexe Zahl mit

(\frac{1}{|w|^{2}} z\overline{w}) w = \frac{1}{|w|^{2}} z|w|^{2} = z

und

w (\frac{1}{|w|^{2}} z\overline{w}) = w\overline{w} \frac{1}{|w|^{2}} z = |w|^{2} \frac{1}{|w|^{2}} z = z.

Somit ist die Multiplikation mit einer von Null verschiedenen komplexen Zahl umkehrbar, wir können also in ℂ eine Division definieren durch

Definition: \frac{z}{w} = \frac{1}{|w|^{2}} z\overline{w}.

Damit sind alle vier Grundrechenarten in ℂ definiert, und erwartungsgemäß gilt

Lemma 1.1: ℂ ist ein Körper.

Beweis: siehe erstes Übungsblatt, Aufgabe 1!

Betrachten wir als nächstes die topologischen Eigenschaften von ℂ. Da der Betrag einer komplexen Zahl z nichts anderes ist als die euklidische Norm des Vektors z, wiederholen die folgenden Definitionen einfach in neuer Formulierung die entsprechenden Definitionen aus der Analysis. (Je nachdem, welche Definition Sie in der Analysis gehört haben, müssen Sie möglicherweise noch die Äquivalenz von euklidischer Norm und Maximumsnorm in ℝ^{2} benutzen um zu sehen, daß diese Definitionen nur Umformulierungen der altbekannten sind.)

Definition: a) Eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} komplexer Zahlen konvergiert gegen die komplexe Zahl a ∈ ℂ, wenn es für jedes (reelle) ε > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |a − a_{n}| < ε für alle n > N. Die Folge heißt konvergent, wenn sie gegen ein a ∈ ℂ konvergiert.

b) Eine Teilmenge U ⊂ ℂ heißt offen, wenn es zu jedem z ∈ U ein ε > 0 gibt, so daß jedes w ∈ ℂ mit |z − w| < ε ebenfalls in U liegt. Eine Teilmenge A ⊂ ℂ heißt abgeschlossen, falls ℂ ∖ A offen ist.

c) Eine Funktion f: U → ℂ heißt stetig auf der offenen Teilmenge U ⊂ ℂ, wenn es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 gibt, so daß für alle z, w ∈ U gilt:

|z − w| < δ ⇒ |f(z) − f(w)| < ε.

Da die Definitionen die gleichen sind wie in der Analysis, gelten auch die üblichen Sätze, insbesondere beispielsweise das

Konvergenzkriterium von Cauchy: Die Folge komplexer Zahlen (a_{n})_{n∈ℕ} ist genau dann konvergent, wenn es für jedes ε > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß |a_{n} − a_{m}| < ε für alle n, m > N.

Der Begriff der absoluten Konvergenz hat in ℂ eine etwas andere Bedeutung als in ℝ, auch wenn die Definition formal dieselbe ist:

Definition: Die Reihe ∑_{n=r}^{∞} a_{n} mit a_{n} ∈ ℂ und r ∈ ℤ heißt absolut

konvergent, wenn die Reihe ∑_{n=r}^{∞} |a_{n}| konvergiert.

Trotzdem gilt auch hier:

Lemma 1.2: a) Falls die Reihe ∑_{n=r}^{∞} a_{n} absolut konvergent ist, ist sie auch konvergent.

b) Die Summe einer absolut konvergenten Reihe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden.

Der Beweis von a) folgt genau wie im reellen Fall aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium zusammen mit der Dreiecksungleichung (die hier im Komplexen wirklich eine Eigenschaft von Dreiecken ausdrückt): Da eine Reihe nach Definition genau dann konvergiert, wenn die Folge der Teilsummen konvergiert, ist ∑_{n=r}^{∞} a_{n} genau dann absolut konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein N ∈ ℕ gibt, so daß ||a_{n}| + ⋯ + |a_{n+k}|| < ε für alle n > N und alle k ∈ ℕ. Da

|a_{n} + ⋯ + a_{n+k}| ≤ ||a_{n}| + ⋯ + |a_{n+k}||,

ist dann auch |a_{n} + ⋯ + a_{n+k}| < ε, die Reihe konvergiert also.

Zum Beweis von b) sei σ eine bijektive Abbildung von {n ∈ ℤ | n ≥ r} auf sich selbst; wir müssen einsehen, daß ∑_{n=r}^{∞} a_{n} = ∑_{n=r}^{∞} a_{σ(n)} ist. Dazu betrachten wir die beiden Teilsummen s_{k} = ∑_{n=r}^{k} a_{n} und s′_{k} = ∑_{n=r}^{k} a_{σ(n)} und ein ε > 0. Wegen der absoluten Konvergenz der Reihe gibt es ein N, so daß ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < ε, und dazu wiederum sei M die größte ganze Zahl m, für die σ(m) ≤ N ist; wegen der Bijektivität von σ ist natürlich M ≥ N. Weiter ist ∑_{n=M+1}^{∞} |a_{σ(n)}| eine Teilsumme von ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}|, also ebenfalls kleiner als ε. Für jedes k > M besteht daher s_{k} − s′_{k} nur aus Termen ±a_{n} mit n > N, d.h.

|s_{k} − s′_{k}| ≤ ∑_{n=N}^{∞} |a_{n}| < ε für jedes k > M .

Also ist lim_{k→∞} s_{k} = lim_{k→∞} s′_{k}, wie behauptet.

Als erstes Beispiel für die Anwendung dieses Lemmas betrachten wir die Potenzreihe

∑_{n=0}^{∞} \frac{z^{n}}{n!} .

Diese Reihe ist für jedes z ∈ ℂ absolut konvergent, denn

∑_{n=0}^{∞} |\frac{z^{n}}{n!} | = ∑_{n=0}^{∞} \frac{|z|^{n}}{n!}

konvergiert, wie aus der reellen Analysis bekannt ist, gegen e^{|z|}. Also konvergiert die Reihe für jedes z ∈ ℂ gegen eine komplexe Zahl, die wir vorläufig mit exp(z) bezeichnen wollen.

Lemma 1.3: Für alle z, w ∈ ℂ ist exp(z + w) = exp(z) · exp(w) .

Beweis: Da die Potenzreihen von exp(z) und exp(w) absolut konvergent sind, können wir die rechte Seite ausmultiplizieren und neu zusammenfassen:

exp(z) · exp(w) = ∑_{j=0}^{∞} \frac{z^{j}}{j!} ∑_{k=0}^{∞} \frac{w^{k}}{k!} = ∑_{j,k=0}^{∞} \frac{z^{j}w^{k}}{j!k!}

= ∑_{n=0}^{∞} ∑_{j+k=n} \frac{z^{j}w^{k}}{j!k!} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} ∑_{j+k=n} \binom{n}{j}z^{j}w^{k}

= ∑_{n=0}^{∞} \frac{(z + w)^{n}}{n!} = exp(z + w) .

Somit verhält sich die Funktion exp(z) auch im Komplexen genau so, wie man es von einer Potenz erwartet; wir werden daher in Zukunft meist wie im Reellen exp(z) = e^{z} schreiben. Um Funktionswerte für komplexe Argumente z = x + iy explizit zu berechnen, wenden wir zunächst das Lemma an, wonach e^{z} = e^{x}e^{iy} ist, und müssen dann nur noch e^{iy} berechnen. Da die Reihe absolut konvergiert, dürfen wir beliebig umordnen und erhalten

e^{iy} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(iy)^{n}}{n!} = ∑_{n=0}^{∞} i^{n} \frac{y^{n}}{n!} = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{y^{2n}}{(2n)!} + i ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{y^{2n+1}}{(2n + 1)!} .

Rechts stehen aber gerade die Potenzreihen für Cosinus und Sinus, wir erhalten also die

Formeln von de Moivre: e^{iy} = cos(y) + i sin(y).

Da bei den obigen Umformungen nirgends benutzt wurde, daß y eine reelle Zahl sein soll, gelten diese Formeln auch für komplexe Argumente, falls wir für beliebige komplexe Zahlen z definieren

cos(z) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n}}{(2n)!}  und  sin(z) = ∑_{n=0}^{∞}(−1)^{n} \frac{z^{2n+1}}{(2n + 1)!} .

Beide Reihen sind absolut konvergent, denn die Reihen der Beträge haben beide die reelle Exponentialreihe als konvergente Majorante.

In den Formeln von de Moivre liegt übrigens einer der Hauptgründe für die große Bedeutung der Funktionentheorie in der Physik und Elektrotechnik, denn diese Formeln gestatten es, statt mit trigonometrischen Funktionen und deren verschachtelten Additionstheoremen mit der Exponentialfunktion und Lemma 1.3 zu rechnen. (Vergleiche dazu auch Aufgabe 2 auf dem ersten Übungsblatt.) Dabei wird oft sogar ein eigentlich ”reelles Problem“ künstlich komplex gemacht, wobei dann etwa der Realteil der komplexen Lösung gleich der gesuchten reellen Lösung ist, während der Imaginärteil keine für das Problem relevante Bedeutung hat. So wird beispielsweise in der Optik eine Welle meist in der Form ψ = ψ_{0}e^{ωt−φ_{0}} geschrieben, obwohl sie nur ein eindimensionales reelles Phänomen beschreiben soll.

Satz 1.4: a) Die komplexe Exponentialfunktion z ↦ e^{z} bildet den Streifen {z ∈ ℂ | 0 ≤ Im z < 2π} bijektiv ab auf ℂ ∖ {0}.

b) Jede komplexe Zahl z läßt sich in der Form z = re^{iφ} darstellen mit reellen Zahlen r ≥ 0 und φ ∈ [0, 2π), die für z ≠ 0 eindeutig bestimmt sind. Insbesondere ist r = |z|.

Beweis: a) Da die Exponentialfunktion keine reelle Nullstelle hat und Sinus und Cosinus keine gemeinsame reelle Nullstelle haben, kann

e^{z} = e^{Re z}(cos(Im z) + i sin(Im z))

nie Null sein, das Bild der Exponentialfunktion liegt also in ℂ ∖ {0}. Ist e^{z} = e^{w}, so ist e^{z−w} = 1. Sei z − w = x + iy mit x, y ∈ ℝ. Dann ist e^{x}(cos(y) + i sin(y)) = 1, also sin(y) = 0 und damit y = kπ mit k ∈ ℤ. Dann ist aber cos(y) = (−1)^{k}; wegen e^{x} > 0 muß k gerade sein und e^{x} = 1, also x = 0. Mithin unterscheiden sich z und w nur im Imaginärteil, und dort um ein Vielfaches von 2π; im angegebenen Streifen ist die Exponentialfunktion also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität empfiehlt es sich, zunächst b) zu zeigen: Für z = 0 ist die Behauptung trivial; für z ≠ 0 ist w = z/|z| = u+iv eine komplexe Zahl vom Betrag Eins, d.h. u^{2} + v^{2} = 1. Da der Einheitskreis in ℝ^{2} durch

[0, 2π) → ℝ^{2}; φ ↦ (cos(φ), sin(φ))

in eineindeutiger Weise parametrisiert wird, gibt es ein eindeutig bestimmtes φ ∈ [0, 2π), so daß e^{iφ} = w ist; mit r = |z| ist also z = re^{iφ}. Insbesondere ist dann z = e^{log r+iφ}, womit die Surjektivitätsaussage aus a) bewiesen wäre. Aus der dortigen Injektivitätsaussage und der Injektivität der reellen Exponentialfunktion folgt schließlich noch die in b) behauptete Eindeutigkeit.

Damit gibt es außer der ”kartesischen“ Darstellung z = x + iy einer komplexen Zahl auch noch die ”Polarkoordinatendarstellung“ z = re^{iφ} = r(cos(φ) + i sin(φ)), wobei φ als Winkel nur modulo 2π bestimmt ist, beziehungsweise, im Falle z = 0, völlig beliebig gewählt werden kann.

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Definition: Für eine komplexe Zahl z = re^{iφ} ≠ 0 heißt φ = arg z das Argument von z.

Die Polarkoordinatendarstellung ist für die Addition komplexer Zahlen schlecht geeignet; bei der Multiplikation ist sie aber etwas einfacher als die kartesische Darstellung, denn

re^{iφ} · se^{iψ} = rse^{i(φ+ψ)} .

Dramatisch wird die Vereinfachung gegenüber der kartesischen Darstellung bei der Berechnung von Potenzen und vor allem Wurzeln, denn

(re^{iφ})^{n} = r^{n}e^{inφ} .

Umgekehrt ist natürlich w = ^{n} \sqrt{r}e^{iφ/n} eine Lösung der Gleichung w^{n} = z = re^{iφ}, allerdings nicht die einzige: Da sich z auch in der Form z = re^{i(φ+2kπ)} schreiben läßt, sind auch die Zahlen

w_{k} = ^{n} \sqrt{r}e^{i(φ+2kπ)/n} = ^{n} \sqrt{r}e^{iφ/n+2kπ/n} = ^{n} \sqrt{r}e^{iφ/n}ζ_{n}^{k}

mit ζ_{n} = e^{2π/n} Lösungen. ζ_{n} erfüllt die Gleichung ζ_{n}^{n} = 1; die Zahlen ζ_{n}, ζ_{n}^{2}, …, ζ_{n}^{n−1} sind also die sämtlichen Lösungen der Gleichung w^{n} = 1, die n-ten Einheitswurzeln. Allgemein gilt also

Lemma 1.5: Für eine komplexe Zahl z ≠ 0 hat die Gleichung w^{n} = z genau n verschiedene Lösungen; ist z = re^{iφ}, so sind dies die Zahlen

w_{k} = ^{n} \sqrt{r}e^{iφ/n+2kπ/n} für k = 0, …, n − 1 .

Im allgemeinen ist es nur schwer möglich, die w_{k} ohne trigonometrische Funktionen in kartesischer Form darzustellen. Lediglich in einigen einfachen Fällen liefert die Elementargeometrie entsprechende Darstellungen. Ein Beispiel dafür ist die Gleichung w^{6} = 27. Nach obigem Lemma hat sie die Lösungen

w_{k} = ^{6} \sqrt{27}e^{2kπ/6} = \sqrt{3} ζ_{6}^{k} für k = 0, …, 5 .

In kartesischen Koordinaten ist ζ_{6} = cos(π/3) + i sin(π/3); im Gradmaß ist π/3 der Winkel 60^{∘}, wir müssen also dessen Sinus und Cosinus ausrechnen. Dazu betrachten wir in der komplexen Zahlenebene das Dreieck mit den Eckpunkten 0, 1 und ζ_{6}.

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Da 1 und ζ_{6} auf dem Einheitskreis liegen, haben die Seiten von 0 bis 1 und von 0 bis ζ_{6} beide die Länge 1; da diese Seiten einen Winkel von sechzig Grad einschließen, ist das Dreieck sogar gleichseitig. Ist also ζ_{6} = u + iv mit u, v ∈ ℝ, so ist das Lot von ζ_{6} auf die x-Achse eine Mittelsenkrechte des Dreiecks, der Fußpunkt u ist also 1/2. Da v positiv ist und u^{2} + v^{2} = 1, folgt, daß v = \sqrt{1 − 1/4} = \sqrt{3}/2. Damit ist ζ_{6} = \frac{1}{2}(1 + i\sqrt{3}), also w_{1} = w_{0}ζ_{6} = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 3i). Genauso lassen sich die übrigen w_{k} berechnen.

Außer der Darstellung durch kartesische Koordinaten und der Darstellung durch Polarkoordinaten wird uns noch eine dritte Möglichkeit der Darstellung einer komplexen Zahl gelegentlich nützlich sein: Für jedes c = a + ib aus ℂ ist z ↦ cz eine lineare Abbildung von ℂ = ℝ^{2} nach sich selbst, wird also durch eine reelle 2 × 2-Matrix beschrieben. In deren Spalten stehen die Bilder der Basisvektoren 1 und i; wegen c · 1 = a + ib und c · i = −b + ia ist die Matrix also

( \begin{matrix}a & −b \\ b & a \end{matrix} )  (∗) .

Lemma 1.6: Die Abbildung φ : ℂ → ℝ^{2×2}, die einer komplexen Zahl c = a + ib die obige Matrix zuordnet, ist ein Isomorphismus von ℂ auf den Ring aller Matrizen der Form (*), der somit ein Körper ist.

Beweis: Die Bijektivität ist trivial, es geht also nur darum, daß φ ein Homomorphismus sein muß. φ(c_{1}c_{2}) ist die Matrix zur linearen Abbildung z ↦ (c_{1}c_{2})z, die man auch als Hintereinanderausführung der Abbildungen z ↦ c_{1}z und z ↦ c_{2}z auffassen kann. Diese sind durch die Matrizen φ(c_{1}) und φ(c_{2}) gegeben, ihre Hintereinanderausführung also durch deren Produkt. Entsprechend ist φ(c_{1}+c_{2}) = φ(c_{1})+φ(c_{2}), da die Addition von c_{1} und c_{2} der Addition der dazugehörigen Abbildungen entspricht, und diese wiederum der Matrizensumme.

§2: Holomorphe Funktionen

Holomorphe Funktionen sind die Funktionen, die man problemlos differenzieren, integrieren und in Potenzreihen entwickeln kann. Wie wir im Laufe dieses Paragraphen sehen werden, sind alle drei Eigenschaften sogar äquivalent; jetzt am Anfang soll holomorph einfach komplex differenzierbar bedeuten:

Definition: U sei eine offene Teilmenge von ℂ. Eine Funktion f: U → ℂ heißt holomorph im Punkt z ∈ U, wenn der Grenzwert

lim_{h→0} \frac{f(z + h) − f(z)}{h}

existiert; dieser Grenzwert wird dann als die Ableitung f′(z) = \frac{df}{dz} (z) von f in z bezeichnet. f heißt holomorph im U, wenn es in jedem Punkt von U holomorph ist.

Der wesentliche Unterschied zum Reellen besteht darin, daß h hier eine komplexe Zahl ist, h kann also nicht nur auf der reellen Achse von links oder rechts nach Null gehen, sondern aus beliebiger Richtung. Dies weist schon darauf hin, daß Differenzierbarkeit im Komplexen eine stärkere Einschränkung ist als im Reellen.

Triviale Beispiele für differenzierbare Funktionen sind, genau wie im Reellen, die konstanten Funktionen und die identische Abbildung z ↦ z. Da man, ebenfalls wie im Reellen, sofort nachrechnet, daß auch Summen und Produkte holomorpher Funktionen wieder holomorph sind (und den aus der reellen Analysis bekannten Summenund Produktregeln genügen), sind damit auch alle Polynomfunktionen holomorph auf ganz ℂ und haben die ”gewohnten“ Ableitungen.

Auch Beispiele nichtholomorpher Funktionen können leicht angegeben werden: Beispielsweise kann der obige Grenzwert natürlich nur für stetige Funktionen existieren, so daß jede unstetige Funktion nichtholomorph ist. Stetig und trotzdem nicht holomorph ist etwa die komplexe Konjugation, denn

lim_{h→0} \frac{\overline{z + h} − \overline{z}}{h} = lim_{h→0} \frac{\overline{h}}{h} ,

und dieser Grenzwert existiert natürlich nicht: In der Polarkoordinatendarstellung h = re^{iφ} ist \frac{\overline{h}}{h} = e^{−2iφ}, und φ hat für h → 0 keinen Grenzwert.

Um eine erste notwendige Bedingung für die Holomorphie einer Funktion zu bekommen, betrachten wir die Spezialfälle, daß h auf der reellen bzw. komplexen Achse gegen Null geht. Sei dazu z = x + iy und f(z) = u(x, y) + iv(x, y) mit reellen Funktionen u, v : ℝ^{2} → ℝ. Für ein reelles h ist dann

\begin{matrix}lim_{h→0} & \frac{f(z + h) − f(z)}{h} \\ = & lim_{h→0} (\frac{u(x + h, y) − u(x, y)}{h} + i \frac{v(x + h, y) − v(x, y)}{h}) \\ = & \frac{∂u}{∂x}(x, y) + i\frac{∂v}{∂x}(x, y) , \end{matrix}

während für ein imaginäres h = ik mit k ∈ ℝ

\begin{matrix}lim_{h→0} & \frac{f(z + h) − f(z)}{h} \\ = & lim_{k→0} (\frac{u(x, y + k) − u(x, y)}{ik} + i \frac{v(x, y + k) − v(x, y)}{ik}) \\ = & − i\frac{∂u}{∂y}(x, y) + \frac{∂v}{∂y} (x, y) . \end{matrix}

Also müssen u und v reell differenzierbar sein und es muß gelten:

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen:

\frac{∂u}{∂x}(x, y) = \frac{∂v}{∂y} (x, y)  und  \frac{∂u}{∂y}(x, y) = −\frac{∂v}{∂x}(x, y)

Holomorphe Funktionen 13

Das ist auch bereits hinreichend, es gilt also

Lemma 2.1: Die Funktion f: U → ℂ mit f(x+iy) = u(x, y)+iv(x, y) ist genau dann holomorph, wenn u und v differenzierbar sind und den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen genügen.

Beweis: Wenn u und v differenzierbar sind, ist auch f im Sinne der reellen Analysis differenzierbar, es gibt also eine lineare Abbildung Df(z): ℝ^{2} → ℝ^{2}, so daß für jedes h = h_{x} + ih_{y} gilt

f(z + h) = f(z) + Df(z)(h_{x}, h_{y}) + O(h_{x}^{2} + h_{y}^{2}) .

Dabei ist Df(z) durch die Matrix

( \begin{matrix}\frac{∂u}{∂x}(x, y) & \frac{∂u}{∂y}(x, y) \\ \frac{∂v}{∂x}(x, y) & \frac{∂v}{∂y} (x, y) \end{matrix} )

gegeben. Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen besagen nun gerade, daß diese Matrix die spezielle Gestalt aus Lemma 1.6 hat, es gibt also eine komplexe Zahl c, so daß die lineare Abbildung Df die Multiplikation mit c ist. Also ist

f(z + h) = f(z) + ch + O(h\overline{h}) ,

und daraus folgt sofort, daß f in z holomorph ist mit f′(z) = c.

Wie der Beweis zeigt, ist die reelle Ableitung Df gerade die Multiplikation mit f′(z). Für zwei Funktionen f, g, die Teilmengen von ℝ^{2} so nach ℝ^{2} abbilden, daß die Komposition f ∘ g definiert ist, gilt die Kettenregel

D(f ∘ g)(z) = Df(g(z)) ∘ Dg(z) ;

daher gilt auch im Komplexen die Kettenregel: (f ∘ g)′(z) = f′(g(z)) · g′(z) .

Zusammen mit der Tatsache, daß

lim_{h→0} \frac{\frac{1}{z + h} − \frac{1}{z}}{h} = lim_{h→0} \frac{−1}{z(z + h)} = −\frac{1}{z^{2}}

für alle z ≠ 0, folgt daraus, daß auch alle rationalen Funktionen überall dort holomorph sind, wo ihr Nenner nicht verschwindet, und daß auch sie die ”gewohnten“ Ableitungen haben.

Als erste Anwendung der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen können wir die Exponentialfunktion untersuchen: Für z = x + iy ist

e^{z} = e^{x} cos y + i · e^{x} sin y = u(x, y) + iv(x, y)

mit u(x, y) = e^{x} cos y und v(x, y) = e^{x} sin y. Natürlich ist \frac{∂u}{∂x} = u und \frac{∂v}{∂x} = v, also ist

\frac{∂u}{∂y} = −e^{x} sin y = −v = −\frac{∂v}{∂x}

und

\frac{∂v}{∂y} = e^{x} cos y = u = \frac{∂u}{∂x} ,

genau wie es die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen verlangen. Damit ist die Exponentialfunktion differenzierbar, und natürlich ist sie, wie im Reellen, gleich ihrer eigenen Ableitung.

Bevor wir uns weiter mit der Differenzierbarkeit befassen, empfiehlt es sich, zunächst die Integrierbarkeit zu betrachten.

Definition: f: U → ℂ sei eine auf einer offenen Teilmenge U von ℂ definierte Funktion. Falls es dazu eine auf U holomorphe Funktion F: U → ℂ gibt, so daß F′(z) = f(z) für alle z ∈ U, bezeichnen wir F als eine Stammfunktion von f.

Auch Integrale werden wie üblich definiert: Ist zunächst f: [a, b] → ℂ auf einem reellen Intervall [a, b] definiert, so soll ∫_{a}^{b} f(t) dt der Limes der Summen

∑_{j=0}^{n−1} f(t_{j})(t_{j+1} − t_{j})

sein, sofern dieser existiert, wobei der Grenzwert über alle Unterteilungen a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = b von [a, b] gebildet wird mit n → ∞ und sup |t_{j+1} − t_{j}| → 0. Da die t_{j} reell sind, kann man die obigen Summen leicht in Real- und Imaginärteile zerlegen und erhält die Formel

∫_{a}^{b} f(t) dt = ∫_{a}^{b} Re f(t) dt + i ∫_{a}^{b} Im f(t) dt.

Falls f eine Stammfunktion F hat, ist auch Re F eine Stammfunktion von Re f und Im F eine Stammfunktion von Im f , nach dem (reellen) Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt also auch hier ∫_{a}^{b} f(t) dt = F (b) − F (a) .

Normalerweise möchten wir nicht über reelle Intervalle integrieren sondern entlang von Kurven in der komplexen Zahlenebene. Dazu definieren wir

Definition: a) Ein Integrationsweg ist eine stetige und stückweise stetig differenzierbare Abbildung γ: [a, b] → U eines reellen Intervalls in eine offene Teilmenge U von ℂ. Die Punktmenge |γ| = γ([a, b]) heißt Träger von γ. Falls γ(a) = γ(b) ist, heißt γ ein geschlossener Integrationsweg oder eine geschlossene Kurve.

b) Der Integrationsweg −γ zu einem Integrationsweg γ: [a, b] → ℂ ist der Integrationsweg [a, b] → ℂ mit t ↦ γ(a + b − t).

c) Für einen Integrationsweg γ und eine stetige Funktion f: |γ| → ℂ ist ∫_{γ} f(z) dz der Limes der Summen

∑_{j=0}^{n−1} f(γ(t_{j}))(γ(t_{j+1}) − γ(t_{j})),

gebildet über alle Unterteilungen a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = b von [a, b] für n → ∞ und sup |t_{j+1} − t_{j}| → 0.

Die Existenz des Grenzwerts ist hier kein Problem, denn

\begin{aligned}& ∑_{j=0}^{n−1} f(γ(t_{j}))(γ(t_{j+1}) − γ(t_{j})) \\ = & ∑_{j=0}^{n−1} f(γ(t_{j}))\frac{γ(t_{j+1}) − γ(t_{j})}{t_{j+1} − t_{j}}(t_{j+1} − t_{j}) \end{aligned}

konvergiert wegen der Stetigkeit von f und der stückweisen Differenzierbarkeit von γ; wir erhalten

∫_{γ} f(z) dz = ∫_{a}^{b} f(γ(t))γ′(t) dt,

wobei die endlich vielen Werte, für die γ′(t) nicht existiert, natürlich vernachlässigt werden können. Als unmittelbare Folgerung aus dieser Formel erhalten wir die Beziehung

∫_{−γ} f(z) dz = − ∫_{γ} f(z) dz.

Lemma 2.2: Eine offene Teilmenge U ⊂ ℂ ist genau dann zusammenhängend, wenn es zu je zwei Punkten z, w ∈ U einen Integrationsweg γ: [a, b] → U gibt mit γ(a) = z und γ(b) = w.

Beweis: Sei zunächst U zusammenhängend. Wir wählen einen festen Punkt z ∈ U und betrachten die Menge V aller Punkte w ∈ U, die durch einen Integrationsweg mit z verbunden werden können. Diese Menge ist offen, denn jedes w ∈ V hat in U eine ε-Umgebung, deren Punkte durch Radien mit w verbunden werden können; ein Integrationsweg von z nach w läßt sich also bis zu jedem dieser Punkte verlängern. Das Komplement V ∖ U ist aber auch offen, denn auch jedes w ∈ U ∖ V hat in U eine ε-Umgebung, und wenn ein Punkt aus dieser ε-Umgebung durch einen Integrationsweg mit z verbunden werden kann, dann kann der Weg auch bis w fortgesetzt werden. Da U zusammenhängend ist, muß also V oder U ∖ V leer sein; da V zumindest eine ε-Umgebung von z enthält, ist U ∖V = ∅, also U = V.

Wenn sich umgekehrt je zwei Punkte z, w ∈ U durch einen Integrationsweg γ: [a, b] → U mit γ(a) = z und γ(b) = w verbinden lassen, ist U zusammenhängend, denn wäre U = V ∪ W mit nichtleeren offenen Mengen V, W und läge z ∈ V, aber w ∈ W, so wäre auch |γ| = (|γ| ∩ V) ∪ (|γ| ∩ W) unzusammenhängend, was für das stetige Bild eines Intervalls natürlich absurd ist.

Definition: Ein Gebiet G ist eine zusammenhängende offene Teilmenge von ℂ.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt auch im Komplexen, nämlich

Lemma 2.3: f: G → ℂ sei stetig im Gebiet G und habe dort eine Stammfunktion F: G → ℂ. Dann gilt für jeden Integrationsweg γ mit |γ| ⊂ G

∫_{γ} f(z) dz = F (γ(b)) − F (γ(a)).

Insbesondere hängt das Integral also nur von den Endpunkten von γ ab und verschwindet für einen geschlossenen Integrationsweg γ.

Zum Beweis können wir o.B.d.A. annehmen, daß γ stetig differenzierbar ist: Gegebenenfalls zerlege man [a, b] in endlich viele Teilintervalle, für die das gilt. Dann ist Re F ∘ γ eine Stammfunktion von (Re f ∘γ)·γ′, und Entsprechendes gilt auch für die Imaginärteile, also ist

∫_{γ} f(z) dz = ∫_{a}^{b} f(γ(t))γ′(t) dt = F (γ(b)) − F (γ(a)).

Die Umkehrung dieses Lemmas gilt (im wesentlichen) auch; siehe dazu Aufgabe 3 auf dem zweiten Übungsblatt. Hier soll uns ein Spezialfall genügen, bei dem man eine Chance hat, die Voraussetzung auch wirklich nachzuweisen und das Lemma dann anzuwenden, nämlich

Lemma 2.4: G sei ein konvexes Gebiet und f: G → ℂ sei eine in G stetige Funktion. Falls für jedes ganz in G liegende abgeschlossene Dreieck △, dessen Rand vom Integrationsweg γ durchlaufen wird, das Integral ∫_{γ} f(z) dz verschwindet, hat f eine Stammfunktion F auf G.

Beweis: z_{0} ∈ G sei beliebig aber fest gewählt, und für jedes z ∈ G sei ℓ_{z} der Integrationsweg ℓ_{z}: [0, 1] → ℂ mit ℓ_{z}(t) = tz + (1 − t)z_{0}, dessen Träger die Strecke von z_{0} nach z ist und wegen der Konvexität von G ganz in G liegt. Der kanonische Kandidat für eine Stammfunktion ist natürlich

F (z) =_{def} ∫_{ℓ_{z}} f(ζ) dζ .

Für h ∈ ℂ ∖ {0} mit z + h ∈ G spannen die drei Punkte z_{0}, z und z + h ein Dreieck △ auf mit den Seiten |ℓ_{z}|, |ℓ_{z+h}| und der Strecke von z nach z + h, zu der etwa der Integrationsweg γ: [0, 1] → ℂ mit γ(t) = z + th gehört. (Man überlege sich, daß die folgenden Beweisschritte richtig bleiben, wenn dieses Dreieck zu einer Strecke degeneriert.) Nach Voraussetzung ist das Integral über den Rand des Dreiecks Null, also ist

\begin{aligned}F (z + h) − F (z) & = ∫_{ℓ_{z+h}} f(z) dz − ∫_{ℓ_{z}} f(z) dz = ∫_{γ_{h}} f(z) dz \\ & = ∫_{0}^{1}f(γ_{h}(t)) · h dt = h · ∫_{0}^{1}f(γ_{h}(t)) dt. \end{aligned}

Für h → 0 konvergiert das rechte Integral gegen f(z), also existiert

lim_{h→0} \frac{F (z + h) − F (z)}{h} = f(z) ,

und F ist eine Stammfunktion.

Wie im Reellen folgt, daß das Kurvenintegral im wesentlichen nur vom Träger des Integrationswegs abhängt und der Richtung, in der er durchlaufen wird; es gilt also

Lemma 2.5: γ_{1}: [a, b] → G und γ_{2}: [c, d] → G seien zwei Integrationswege im Gebiet G, für die es eine stückweise differenzierbare bijektive Funktion φ: [c, d] → [a, b] mit φ(c) = a und φ(d) = b gebe, so daß γ_{2} = γ_{1} ∘ φ ist. Dann ist für jede in G stetige Funktion f: G → ℂ

∫_{γ_{1}} f(z) dz = ∫_{γ_{2}} f(z) dz.

Beweis: Wie wir gerade nachgerechnet haben, ist

∫_{γ_{1}} f(z) dz = ∫_{a}^{b} f(γ_{1}(t))γ′_{1}(t) dt

und

∫_{γ_{2}} f(z) dz = ∫_{c}^{d}f(γ_{2}(t))γ′_{2}(t) dt = ∫_{c}^{d}f( γ_{1}(φ(t))) γ′_{1}(φ(t))φ′(t) dt.

Nach der reellen Substitutionsregel, getrennt angewandt auf Realund Imaginärteil, folgt daß beide Integrale gleich sind.

Bei Kreislinien, Rändern von Dreiecken usw. ist eine kanonische Richtung vorgegeben, nämlich die im Gegenuhrzeigersinn, die die reelle Achse durch Drehung um 90^{∘} auf die imaginäre Achse abbildet. In solchen Fällen reicht es daher, anstelle des Integrationswegs γ nur den Kreis oder das Dreieck anzugeben. Wir schreiben in diesen Fällen für eine Kreisscheibe D oder ein Dreieck △ einfach

∫_{∂D} f(z) dz  oder ∫_{∂△} f(z) dz,

womit das Integral über irgendeinen im Gegenuhrzeigersinn orientierten Integrationsweg mit dem angegebenen Träger gemeint sein soll – nach dem Lemma ist der Wert des Integrals unabhängig davon, welcher Integrationsweg gewählt wird.

Damit können wir zumindest für konvexe Gebiete den wichtigsten Satz der Vorlesung beweisen, den Cauchyschen Integralsatz:

Satz 2.6: Die Funktion f: G → ℂ sei holomorph auf dem konvexen Gebiet G. Dann gilt für jede geschlossene Kurve γ mit |γ| ⊂ G

∫_{γ} f(z) dz = 0 .

Beweis: Nach Lemma 2.3 genügt es zu zeigen, daß f auf G eine Stammfunktion hat, und nach Lemma 2.4 genügt es dazu wiederum, den Satz für den Spezialfall zu beweisen, daß γ die Randkurve eines ganz in G liegenden abgeschlossenen Dreiecks ist. (Dieser Spezialfall wird als Satz von Goursat bezeichnet.) Sei also △ ein Dreieck in G, dessen Kanten o.B.d.A. im Gegenuhrzeigersinn durchlaufen werden. Indem wir die drei Seitenmittelpunkte von △ paarweise miteinander verbinden, können wir △ in vier kleinere Dreiecke △_{1}, …, △_{4} zerlegen, und wenn wir diese wieder alle im Gegenuhrzeigersinn orientieren, gehört jede Verbindungslinie zweier Seitenmittelpunkte zu genau zwei △_{j} und wird bei jedem der beiden in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, während die Seiten, die auf dem Rand von △ liegen, nur einmal und in der alten Orientierung durchlaufen werden:

[figure: ≺; ⟹; ≺; ≺; ≺; ≺]

Somit ist

∫_{∂△} f(z) dz = ∫_{∂△_{1}} f(z) dz + ⋯ + ∫_{∂△_{4}} f(z) dz

und damit

| ∫_{∂△} f(z) dz| ≤ 4 | ∫_{∂△^{(1)}} f(z) dz| ,

wobei △^{(1)} ein Dreieck △_{j} ist, für das

∫_{∂△_{k}} f(z) dz ≤ ∫_{∂△^{(1)}} f(z) dz

für alle k ist.

Dieses Dreieck △^{(1)} können wir wieder über die Seitenmittelpunkte in vier Dreiecke zerlegen und davon eines auswählen, für das das Integral maximal ist; auf diese Weise erhalten wir eine Folge △^{(1)}, △^{(2)}, … von Dreiecken, die sich auf einen Punkt z_{0} ∈ G zusammenziehen und für die gilt

| ∫_{∂△} f(z) dz| ≤ 4^{n} | ∫_{∂△^{(n)}} f(z) dz| .

Der Satz folgt, sobald wir wissen, daß die rechte Seite dieser Gleichung beliebig klein werden kann. Sei dazu s die Summe der Kantenlängen von △; da wir Dreiecke immer nach Seitenmittelpunkten unterteilen, hat dann △^{(n)} den Umfang s_{n} = 2^{−n}s. Außerdem ist f holomorph in z_{0}, es gibt also eine stetige (sogar holomorphe) Funktion g, so daß in einer gewissen Umgebung von z_{0} gilt

f(z_{0} + h) = f(z_{0}) + h(f′(z_{0}) + g(h))

mit |g(h)| = o(|h|). Daher ist

\begin{matrix}| ∫_{∂△} f(z) dz| ≤ 4^{n} | ∫_{∂△^{(n)}} f(z) dz| \\ ≤ & 4^{n} | ∫_{∂△^{(n)}} (f(z_{0}) + (z − z_{0})f′(z_{0})) dz + ∫_{∂△^{(n)}} (z − z_{0})g(z − z_{0}) dz| . \end{matrix}

Der erste Summand in der Klammer verschwindet nach Lemma 2.3, da eine lineare Funktion natürlich eine (quadratische) Stammfunktion hat, also ist

| ∫_{∂△} f(z) dz| ≤ 4^{n} s_{n} · max_{z∈△^{(n)}} |(z − z_{0})g(z − z_{0})|

≤ 4^{n} s_{n}^{2} · max_{z∈△^{(n)}} |g(z − z_{0})| = s^{2} · max_{z∈△^{(n)}} |g(z − z_{0})|.

Da |g(z)| = o(|z − z_{0}|) ist, steht rechts eine Nullfolge, womit der Satz bewiesen wäre.

Die gerade bewiesene Form des Cauchyschen Integralsatzes ist bei weitem noch nicht die allgemeinstmögliche; insbesondere ist die Voraussetzung der Konvexität von G noch zu speziell. Ganz ohne Voraussetzungen an G gilt der Satz allerdings nicht, wie das folgende Beispiel zeigt:

Die Funktion f(z) = 1/(z−z_{0}) ist holomorph im Gebiet G = ℂ∖{z_{0}}; sei γ: [0, 1] → ℂ der Integrationsweg mit γ(t) = z_{0} + re^{2πit}, geometrisch betrachtet also der Kreis um z_{0} mit Radius r, der für jedes r > 0 ganz in G liegt. Dann ist

∫_{γ} \frac{dz}{z − z_{0}} = ∫_{0}^{1} \frac{2πi re^{2πit}}{z_{0} + re^{2πit} − z_{0}} dt = 2πi ∫_{0}^{1}dt = 2πi ≠ 0 .

Dieses Rechenergebnis ist wichtig genug, um für später festgehalten zu werden als

Lemma 2.7: ∫_{γ} \frac{dz}{z} = 2πi.

Wenn wir auf dieses Integral das Beweisverfahren des Cauchyschen Integralsatzes anwenden, ziehen sich die △^{(n)} auf den Nullpunkt zusammen, da 1/z dort unendlich groß wird; somit reicht schon die Nichtdefiniertheit in diesem einen Punkt, um den Satz falsch werden zu lassen. Eine für den Rest des Kapitels und auch für die gesamte Funktionentheorie interessante Kuriosität ist aber, daß der Satz richtig bleibt, wenn wir die Funktion f wenigstens stetig fortsetzen können in den einen Punkt (oder auch die endlich vielen Punkte), von denen wir nicht wissen, ob sie dort holomorph ist:

Satz 2.8: Die Funktion f: G → ℂ sei stetig auf dem konvexen Gebiet G und holomorph auf G ∖ {z_{0}} für einen festen Punkt z_{0} ∈ G. Dann gilt für jede geschlossene Kurve γ mit |γ| ⊂ G

∫_{γ} f(z) dz = 0 .

Beweis: Wie beim Cauchyschen Integralsatz genügt es, den Rand eines Dreiecks zu betrachten. Falls z_{0} außerhalb des abgeschlossenen Dreiecks △ liegt, gibt es auch ein konvexes Gebiet, das zwar △, nicht aber z_{0} enthält; der gewöhnliche Cauchysche Integralsatz zeigt also die Behauptung.

Falls z_{0} in △ liegt, können wir o.B.d.A. annehmen, daß z_{0} eine Ecke von △ ist, denn andernfalls kann △ so in zwei oder drei Dreiecke zerlegt werden, daß das Integral über den Rand von △ gleich der Summe der Integrale über die Ränder dieser Dreiecke ist und jedes dieser Dreiecke z_{0} höchstens als Eckpunkt enthält:

[figure: z_{0}; z_{0}]

Für ein Dreieck mit Ecken z_{0}, z_{1} und z_{2} wählen wir einen Punkt w_{1} auf der Seite z_{0}z_{1} und einen Punkt w_{2} auf der Seite z_{0}z_{2}.

[figure: w_{2}; z_{0}; z_{2}; z_{1}; w_{1}; △_{1}; △_{2}; △_{3}]

Dies zerlegt △ in drei Dreiecke:

— △_{1} mit Ecken z_{0}, w_{1} und w_{2},

— △_{2} mit Ecken w_{1}, w_{2} und z_{1},

— △_{3} mit Ecken w_{1}, z_{1} und z_{2}. Nach dem Cauchyschen Integralsatz verschwinden die Integrale über die Ränder von △_{2} und △_{3}, und das über den Rand von △_{1} kann leicht abgeschätzt werden: Als stetige Funktion hat |f| ein Maximum M auf der kompakten Menge △, also ist

| ∫_{∂△_{1}} f(z) dz| ≤ M(|w_{1} − z_{0}| + |w_{2} − z_{0}| + |w_{2} − w_{1}|).

Da w_{1} und w_{2} beliebig nahe bei z_{0} gewählt werden können, läßt sich die rechte Seite beliebig klein machen, das Integral verschwindet also.

Als erste Anwendung betrachten wir eine in einem Gebiet G holomorphe Funktion f: G → ℂ, eine offene Kreisscheibe D, deren Abschluß in G liegt, und für einen festen Punkt z_{0} ∈ D die Funktion

g: D → ℂ; z ↦ \{ \begin{matrix}\frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} & für z ≠ z_{0} \\ f′(z_{0}) & für z = z_{0}. \end{matrix}

Da f holomorph ist, ist g auch im Punkt z_{0} stetig, allerdings ist nicht klar, ob g dort auch holomorph ist. Trotzdem können wir den gerade bewiesenen Satz anwenden auf ein konvexes Teilgebiet G′ von G, das \overline{D} enthält, etwa eine offene Kreisscheibe mit geringfügig größerem Radius als D, und erhalten für eine Randkurve γ von D, daß ∫_{γ} g(z) dz verschwindet. Also ist

∫_{γ} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}} dz = ∫_{γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz − f(z_{0}) ∫_{γ} \frac{dz}{z − z_{0}} = 0

und damit

∫_{γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz = f(z_{0}) ∫_{γ} \frac{dz}{z − z_{0}} .

Falls z_{0} der Mittelpunkt von D ist, wissen wir nach Lemma 2.7, daß das rechte Integral gleich \frac{1}{2πi} ist. Um einzusehen, daß dies auch im allgemeinen Fall gilt, betrachten wir z_{0} als eine neue Variable w und das Integral als Funktion

g(w) = ∫_{γ} \frac{dz}{z − w} dz

von w. Für z ∈ |γ| ist der Integrand 1/(z − w) eine in D holomorphe Funktion von w mit Ableitung (z − w)^{−2}; nach den üblichen Regeln über die Vertauschung von Grenzprozessen folgt genau wie im Reellen, daß man die Differentiation nach w und die Integration über z miteinander vertauschen kann; g(w) ist also eine holomorphe Funktion von w mit Ableitung

g′(w) = ∫_{γ} \frac{dz}{(z − w)^{2}} dz.

Diesen Integranden betrachten wir nun wieder als Funktion von z. Dann ist er die Ableitung von −1/(z − w), hat also eine Stammfunktion, und damit verschwindet das Integral nach Lemma 2.3. Also ist g(w) eine konstante Funktion, die im Mittelpunkt von D und damit überall den Wert \frac{1}{2πi} annimmt. Dies beweist die

Cauchysche Integralformel: f: G → ℂ sei eine im Gebiet G holomorphe Funktion, und D sei eine offene Kreisscheibe, deren Abschluß in G liegt. Dann ist für jeden Punkt z_{0} ∈ D

f(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z) dz}{z − z_{0}} .

Diese Formel ist unter zwei Aspekten sehr interessant: Einerseits erlaubt sie uns, den Wert der Funktion f im Punkt z_{0} zu berechnen, wenn wir nur die Werte von f auf einer Kreislinie kennen, für die z_{0} im Kreisinnern liegt. Das analoge Resultat für reelle Funktionen (vgl. Übungsblatt 3, Aufgabe 3) ist in vielen physikalischen und technischen Anwendungen wichtig: Die Differentialgleichung

Δf = \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} = 0 ,

die harmonische Funktionen definiert (2. Übungsblatt, Aufgabe 2), wird etwa erfüllt von der Wärme, sofern bereits das thermische Gleichgewicht erreicht ist, oder vom elektrischen Potential in Gebieten, in denen keine elektrischen Ladungen sind, oder für das Geschwindigkeitspotential einer wirbelfreien Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit. Umgeschrieben auf die Realteile gibt die Cauchysche Integralformel die Lösung dieser Gleichung im Innern einer Kreisscheibe in Abhängigkeit von den (im allgemeinen leicht meßbaren) Funktionswerten auf dem Rand.

Auch für den Aufbau der Funktionentheorie ist die Cauchysche Integralformel von großer Bedeutung: Fassen wir z_{0} = w als neue Variable auf und betrachten wir z als fest, so steht im Integranden die rationale Funktion g(w) = f(z)/(z − w), eine sehr einfache rationale Funktion, die in ℂ ∖ {z} holomorph ist; sie ist dort sogar beliebig oft differenzierbar mit

\frac{d^{n}g}{dw^{n}} (w) = \frac{n! f(z)}{(z − w)^{n+1}} .

Wie im gerade beendeten Beweis können wir Integration über z und Differentiation nach w miteinander vertauschen und erhalten

f′(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{γ} \frac{f(z)}{(z − w)^{2}} dz.

Da rechts eine in w holomorphe Funktion über z integriert wird, folgt daß auch f′ in G holomorph ist; da g(w) sogar beliebig oft differenzierbar ist, folgt weiter dasselbe für alle höheren Ableitungen von f. Wir haben also

Satz 2.9: Die Funktion f: G → ℂ sei im Gebiet G holomorph. Dann ist f in G beliebig oft differenzierbar und alle Ableitungen sind holomorph. Für einen Punkt z_{0} ∈ G und eine in G liegende abgeschlossene Kreisscheibe D, die z_{0} enthält, ist

f^{(n)}(z_{0}) = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz.

Auf die Beträge angewandt gibt dies die Cauchysche Ungleichungen:

Korollar: Ist D eine Kreisscheibe mit Radius r um w_{0}, so gilt für jedes positive δ ≤ r und jedes z_{0} in der Kreisscheibe mit Radius r − δ

|f^{(n)}(z_{0})| ≤ \frac{n! r}{δ^{n+1}} max_{z∈∂D} |f(z)|.

Insbesondere gilt für ein z_{0} mit |z_{0} − w_{0}| ≤ r/2

|f^{(n)}(z_{0})| ≤ \frac{2^{n+1}n!}{r^{n+1}} max_{z∈∂D} |f(z)|.

Der Beweis ist klar: ∂D hat die Länge 2πr, und für z ∈ ∂D ist |z −z_{0}| mindestens δ.

Ebenfalls aus Satz 2.9 folgt, daß Satz 2.8 gar keine echte Verallgemeinerung des Cauchyschen Integralsatzes darstellt; es gilt also

Lemma 2.10: Die Funktion f: G → ℂ sei in G stetig und es gebe endlich viele Punkte z_{1}, …, z_{r}, so daß f auf G ∖ {z_{1}, …, z_{r}} holomorph ist. Dann ist f auf ganz G holomorph.

Beweis: Jeder der Punkte z_{j} hat in G eine Kreisscheibe D_{j} als Umgebung, die keinen weiteren Punkt z_{k} enthält. Somit gilt in D_{j} nach Satz 2.8 die Cauchysche Integralformel, nach Lemma 2.4 hat f dort also eine (nach Definition holomorphe) Stammfunktion, als deren Ableitung f nach Satz 2.9 ebenfalls in ganz D_{j} holomorph ist.

Tatsächlich lassen sich die Voraussetzungen sogar noch weiter abschwächen:

Riemannscher Hebbarkeitssatz: G sei ein Gebiet, und es gebe endlich viele Punkte z_{1}, …, z_{r}, so daß f auf G ∖ {z_{1}, …, z_{r}} holomorph ist. Falls f in der Umgebung jedes Punktes z_{j} beschränkt ist, läßt sich f fortsetzen zu einer auf ganz G holomorphen Funktion.

Beweis: D_{j} sei wie oben eine Kreisscheibe um z_{j}, die keinen weiteren Punkt z_{k} enthalte; dann ist die Funktion

F_{j}: D_{j} → ℂ; z ↦ \{ \begin{matrix}(z − z_{j})f(z) & für z ≠ z_{j} \\ 0 & für z = z_{j} \end{matrix}

holomorph in D_{j} ∖ {z_{j}} und, wegen der Beschränktheit von f in der Umgebung der z_{j}, stetig auf ganz D_{j}. Also ist F_{j} nach dem gerade bewiesenen Lemma holomorph auf ganz D_{j}. Damit gibt es eine holomorphe Funktion g_{j} auf D_{j}, so daß

F_{j}(z) = F_{j}(z_{j}) + (z − z_{j})g_{j}(z) = (z − z_{j})g_{j}(z)

ist. Für z ≠ z_{j} ist g_{j}(z) = f(z), also setzt g_{j} die Funktion f nach z_{j} holomorph fort.

Eine holomorphe Funktion ist nicht nur beliebig oft differenzierbar, sie läßt sich sogar als Potenzreihe darstellen: Ausgangspunkt ist die Funktion g(w) = f(z)/(z−w), die sich für festes z, w_{0} ∈ D als geometrische Reihe in (w − w_{0}) darstellen läßt: Die allgemeine Formel

\frac{1}{1 − x} = ∑_{n=0}^{∞} x^{n}

gilt auch im Komplexen, denn die Reihe auf der rechten Seite konvergiert für |x| < 1 absolut und gleichmäßig, so daß das Produkt (1−x) ∑_{n=0}^{∞} x^{n} auch im Komplexen so zusammengefaßt werden kann, daß sich außer x^{0} = 1 alle Glieder wegheben. Um den wesentlichen Teil 1/(z − w) des Integranden der Cauchyschen Integralformel auf diese Form zu bringen, wählen wir einen Punkt w_{0} im Innern von D; dann ist

\begin{aligned}\frac{1}{z − w} & = \frac{\frac{1}{z − w_{0}}}{\frac{z − w}{z − w_{0}}} = \frac{\frac{1}{z − w_{0}}}{1 − (1 − \frac{z − w}{z − w_{0}} )} = \frac{\frac{1}{z − w_{0}}}{1 − \frac{w − w_{0}}{z − w_{0}}} \\ & = \frac{1}{z − w_{0}} ∑_{n=0}^{∞} (\frac{w − w_{0}}{z − w_{0}} )^{n} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w − w_{0})^{n}}{(z − w_{0})^{n+1}} . \end{aligned}

Diese Reihe ist absolut und gleichmäßig konvergent, falls

|\frac{w − w_{0}}{z − w_{0}} | < 1  oder  |w − w_{0}| < |z − w_{0}|

ist, wenn also w im Innern einer Kreisscheibe um w_{0} mit Radius |z − w_{0}| liegt. Alsdann lassen sich Integration und Summation vertauschen und wir erhalten

\begin{aligned}f(w) & = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z) dz}{z − w} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} f(z) ∑_{n=0}^{∞} \frac{(w − w_{0})^{n}}{(z − w_{0})^{n+1}} \\ & = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(w − w_{0})^{n} \end{aligned}

mit

a_{n} = \frac{f^{(n)}(w_{0})}{n!} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z) dz}{(z − w_{0})^{n+1}}

für alle w, die in einer ganz in D enthaltenen Kreisscheibe um w_{0} liegen. Damit haben wir im wesentlichen bewiesen

Satz 2.11: Die Funktion f: G → ℂ sei im Gebiet G holomorph. Dann gilt für jeden Punkt z_{0} ∈ G und jedes z aus einer offenen Kreisscheibe D um z_{0}, deren Abschluß ganz in G liegt

f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} mit a_{n} = \frac{f^{(n)}(w_{0})}{n!} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} .

Diese Darstellung von f als Potenzreihe in (z − z_{0}) ist eindeutig.

Beweis: Ist D eine solche Scheibe, so ist nach der Cauchyschen Integralformel

f(w) = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z) dz}{z − w} ,

wir können also die obige Rechnung für D ausführen und erhalten die behauptete Potenzreihendarstellung. Die Eindeutigkeit folgt wie im Reellen daraus, daß für eine Potenzreihe P (z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} die n-te Ableitung an der Stelle z_{0} gleich n! a_{n} ist.

Da Potenzreihenansätze bei vielen Anwendungen der Mathematik die einzige Möglichkeit sind, ein Problem zu lösen, hat die gerade bewiesene Eigenschaft holomorpher Funktionen einen eigenen Namen:

Definition: Eine Funktion f: G → ℂ in einem Gebiet G ist dort analytisch, wenn es für jedes z_{0} ∈ G eine Umgebung U ⊂ G gibt, so daß f in U durch eine Potenzreihe in (z −z_{0}) dargestellt werden kann.

Damit sind holomorphe Funktionen also analytisch.

An dieser Stelle lohnt sich eine erste Zusammenfassung. Zwar kennen wir die Eigenschaften holomorpher Funktionen noch nicht so gut, wie wir sie für einige Anwendungen brauchen, denn der Cauchysche Integralsatz ist in seiner Fassung für konvexe Gebiete noch viel zu speziell, und auch die Cauchysche Integralformel gilt natürlich nicht nur für Kreisscheiben, sondern nach Aufgabe 2 des dritten Übungsblatts auch für Dreiecke und – wie man mit genau der gleichen Idee beweist – auch noch für sehr viel allgemeinere geschlossene Kurven, aber ein Grundstock ist gelegt und viele wesentliche Eigenschaften sind inzwischen aufgetaucht. Der folgende Satz zeigt, daß die meisten von ihnen äquivalent sind:

Satz 2.12: Die Funktion f: G → ℂ sei im Gebiet G ⊂ ℂ erklärt; mit z = x + iy sei f(z) = u(x, y) + iv(x, y) die Zerlegung von f in Realund Imaginärteil. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist holomorph in G.

b) u und v sind differenzierbare reelle Funktionen, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllen.

c) f ist stetig und für jedes Dreieck △, dessen Abschluß in G liegt, verschwindet ∫_{∂△} f(z) dz.

d) Auf jedem konvexen Teilgebiet G′ ⊂ G hat f eine Stammfunktion.

e) f ist stetig und für jeden geschlossenen Integrationsweg γ, dessen Träger |γ| in einem konvexen Teilgebiet G′ ⊂ G liegt, ist ∫_{γ} f(z) dz = 0.

f) f ist beliebig oft differenzierbar auf G.

g) f ist analytisch in G.

Beweis: a) und b) sind äquivalent nach Lemma 2.1; a) ⇒ c) ist der uns bereits bekannte Spezialfall des Cauchyschen Integralsatzes, und aus c) folgt d) nach Lemma 2.3. d) ⇒ e) ist Lemma 2.4, und e) ⇒ c) ist klar, da ein abgeschlossenes Dreieck in G immer ein offenes Dreieck in G als Umgebung hat, und damit ein konvexes Gebiet. e) ⇒ f) ist im wesentlichen Satz 2.9: Zwar wurde dort f als holomorph vorausgesetzt, aber der Beweis beruhte ausschließlich auf dem Cauchyschen Integralsatz und damit der Eigenschaft e). Aus f) folgt natürlich a), und daraus wiederum g) nach Satz 2.11. Da eine Potenzreihe differenzierbar ist, folgt daraus schließlich wieder a), womit der Satz bewiesen wäre.

Im Rest dieses Paragraphen soll es um weitere Eigenschaften holomorpher Funktionen gehen, die zwar nicht äquivalent zur Holomorphie sind, die aber trotzdem von großem Interesse sind. Beispielsweise folgt aus den Cauchyschen Ungleichungen sofort der

Satz von Liouville: Die Funktion f: ℂ → ℂ sei auf ganz ℂ holomorph, und es gebe eine Konstante M; so daß |f(z)| ≤ M für alle z ∈ ℂ. Dann ist f konstant.

Beweis: Nach Satz 2.11 kann f durch eine Potenzreihe um den Nullpunkt dargestellt werden, etwa durch f(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n}. Nach den Cauchyschen Ungleichungen mit δ = r ist für jedes r > 0

|a_{n}| = \frac{|f^{(n)}(0)|}{n!} ≤ \frac{M}{r^{n}} ,

und diese Schranke wird für große r und n > 0 beliebig klein. Also verschwinden alle a_{n} mit n > 0, und f(z) = a_{0} für alle z ∈ ℂ.

Die bekannteste Anwendung davon ist der

Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom vom Grad ungleich Null mit komplexen Koeffizienten hat mindestens eine komplexe Nullstelle.

Beweis: Andernfalls wäre die Funktion g(z) = 1/f(z) auf ganz ℂ holomorph. Sie wäre auch beschränkt, denn da |f(z)| → ∞ für z → ∞ gibt es ein R ∈ ℝ, so daß |f(z)| > 1 und damit |g(z)| < 1 für |z| > R, und auf dem (kompakten) Kreis um Null mit Radius R ist g ohnehin beschränkt. Also wäre g und damit f konstant, ein Widerspruch.

Bei den restlichen Anwendungen wird es vor allem um Folgerungen aus der Analytizität gehen. Die Analytizität einer Funktion ist eine sehr starke Einschränkung, im Reellen etwa zeigt das Beispiel der Funktion t ↦ e^{−1/t^{2}} im Nullpunkt, daß sich selbst eine beliebig oft differenzierbare Funktion nicht notwendigerweise durch eine Potenzreihe darstellen läßt. Aus der Tatsache, daß hier im Komplexen jede holomorphe Funktion analytisch ist, lassen sich daher weitgehende Folgerungen ziehen, zum Beispiel der Identitätssatz:

Satz 2.13: Die Funktionen f, g: G → ℂ seien im Gebiet G holomorph. Falls es eine Teilmenge M ⊂ G gibt, die in G einen Häufungspunkt hat, so daß f(z) = g(z) für alle z ∈ M, so stimmen f und g auf ganz G überein.

Beweis: Natürlich genügt es, den Fall g = 0 zu betrachten. z_{∞} sei ein Häufungspunkt von M und (z_{j})_{j∈ℕ} sei eine Folge aus M ∖ {z_{∞}}, die gegen z_{∞} konvergiert. o.B.d.A. können wir dabei annehmen, daß alle z_{j} in einer offenen Kreisscheibe D um z_{∞} liegen, deren Abschluß ganz in G liegt. Wäre f nicht identisch Null auf D, so gäbe es in der Potenzreihenentwicklung von f um z_{∞} einen von Null verschiedenen Koeffizienten; der erste solche Koeffizient sei a_{n}, d.h.

f(z) = ∑_{k=n}^{∞} a_{k}(z − z_{∞})^{k}

und

\frac{f(z)}{(z − z_{∞})^{n}} = a_{n} + (z − z_{∞}) ∑_{k=n+1}^{∞} a_{k}(z − z_{∞})^{k−n−1} .

Wegen der Stetigkeit von f verschwände mit den f(z_{j})/(z_{j} − z_{∞})^{n} der Grenzwert für z_{j} → z_{∞}, also wäre a_{n} = 0 im Widerspruch zur Annahme. Damit muß f auf ganz D verschwinden. Sei G′ die Teilmenge von G, auf der f und seine sämtlichen Ableitungen verschwinden.

Wie wir gerade gesehen haben, liegt D in G′, das somit nicht leer ist. Außerdem ist G′ offen, denn jeder Punkt hat eine Umgebung, in der f durch die identisch verschwindende Potenzreihe dargestellt wird. Andererseits ist G′ aber natürlich auch abgeschlossen, denn jede der Bedingungen f^{(k)}(z) = 0 definiert eine abgeschlossene Menge, und der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Also ist G′ = G und f verschwindet identisch.

Vor der nächsten Anwendung der Analytizität benötigen wir einen Hilfssatz:

Lemma 2.14: f: G → ℂ sei holomorph im Gebiet G, und D sei eine abgeschlossene Kreisscheibe mit Mittelpunkt z_{0}, die ganz in G liege. Falls |f(z_{0})| kleiner ist als das Minimum der |f(z)| für z ∈ ∂D, hat f in D eine Nullstelle.

Beweis: Hätte f keine Nullstelle in D, so wäre auch g = 1/f zumindest in einem D enthaltenden Teilgebiet G′ von G holomorph, und nach Voraussetzung wäre |g(z_{0})| größer als das Maximum der |g(z)| für z ∈ ∂D. Dies widerspricht den Cauchyschen Ungleichungen, die für δ = r und n = 0 genau das Gegenteil aussagen.

Satz von der Gebietstreue: f: G → ℂ sei holomorph im Gebiet G und nicht konstant. Dann ist auch f(G) wieder ein Gebiet.

Beweis: Wegen der Stetigkeit von f ist mit G auch f(G) zusammenhängend, es geht also nur um die Offenheit. Dazu sei w_{0} = f(z_{0}) ein Punkt aus f(G), und D sei eine offene Kreisscheibe um z_{0}, deren Abschluß ganz in G liegt und außer z_{0} keinen weiteren Punkt z enthält mit f(z) = w_{0}. (Eine solche Kreisscheibe existiert, denn sonst gäbe es eine gegen z_{0} konvergierende Folge von Punkten, auf denen f den Wert w_{0} annimmt; f wäre also konstant gleich w_{0} nach dem Identitätssatz.) Daher ist |f(z) − w_{0}| auf ∂D positiv und nimmt dort ein positives Minimum M an.

Ein fester Punkt w ∈ ℂ liegt genau dann in f(G), wenn die Funktion f(z) − w in G eine Nullstelle hat, und das ist nach dem gerade bewiesenen Hilfssatz jedenfalls dann der Fall, wenn gilt

|f(z_{0}) − w| ≤ |f(z) − w| für alle z ∈ ∂D.

Links steht |w − w_{0}|, und die rechte Seite kann abgeschätzt werden durch

|f(z) − w| ≥ |f(z) − w_{0}| − |w − w_{0}| ≥ M − |w − w_{0}|;

es genügt also auf jeden Fall, daß |w − w_{0}| < M/3 ist. Also enthält f(G) die Kreisscheibe um w_{0} mit Radius M/3, ist also offen.

Die wichtigsten Anwendungen dieses Satzes sind die Prinzipien vom Maximum und von Minimum:

Prinzip vom Maximum: Für eine nichtkonstante holomorphe Funktion f: G → ℂ kann |f| in keinem inneren Punkt des Gebiets G ein lokales Maximum annehmen. Falls G beschränkt ist und f auf \overline{G} stetig fortgesetzt werden kann, nimmt |f| sein Maximum auf dem Rand von G an und

|f(z)| ≤ max_{ζ∈∂G} |f(ζ)| für alle z ∈ G.

Beweis: Für z_{0} ∈ G hat w_{0} = f(z_{0}) in f(G) nach dem Satz von der Gebietstreue eine offene Kreisscheibe als Umgebung, und diese enthält natürlich auch Punkte, deren Betrag größer ist als der von z_{0}. Also kann |w_{0}| kein lokales Maximum sein.

Ganz entsprechend gilt auch das

Prinzip vom Minimum: Für eine nichtkonstante holomorphe Funktion f: G → ℂ kann |f| in keinem inneren Punkt des Gebiets G ein von Null verschiedenes lokales Minimum annehmen. Falls G beschränkt ist und f auf \overline{G} stetig fortgesetzt werden kann, hat f entweder Nullstellen in G, oder |f| nimmt sein Minimum auf dem Rand von G an und

|f(z)| ≥ min_{ζ∈∂G} |f(ζ)| für alle z ∈ G.

Im Reellen sind alle drei gerade bewiesenen Sätze selbst für analytische Funktionen falsch: Der Sinus, beispielsweise, bildet das zusammenhängende offene Intervall (10, 10) ab auf das abgeschlossene Intervall [0, 1] und nimmt seine (betragsmäßigen) Maxima und Minima in inneren Punkten von (10, 10) an.

Gerade das Prinzip vom Maximum wird im weiteren Verlauf der Vorlesung noch häufiger auftauchen; im Augenblick soll uns als erste Anwendung das Schwarzsche Lemma genügen, wonach eine holomorphe Funktion, die den Einheitskreis in sich selbst abbildet und den Nullpunkt festläßt, den Betrag nicht vergrößern kann:

Lemma 2.15: f: D → D sei eine holomorphe Funktion, die den offenen Einheitskreis D in sich selbst abbildet und auch den Nullpunkt festläßt. Dann ist |f(z)| ≤ |z| für alle z ∈ D, insbesondere also auch |f′(0)| ≤ 1. Ist |f(z)| = |z| für ein z ≠ 0 oder |f′(0)| = 1, so ist f(z) = e^{iφ}z für einen geeigneten Winkel φ; die Abbildung ist also eine Drehung.

Beweis: f läßt sich in D als Potenzreihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}z^{n} schreiben; wegen f(0) = 0 verschwindet a_{0}, und da die gegebene Reihe für alle z ∈ D konvergiert, konvergiert auch die Reihe g(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n+1}z^{n}, d.h. f(z) = z · g(z) mit einer holomorphen Funktion g: D → ℂ. Da f(D) in D liegt, ist

|g(z)| = \frac{|f(z)|}{|z|} ≤ \frac{1}{|z|}

für alle z ≠ 0 aus D; nach dem Prinzip vom Maximum, angewandt auf den Kreis mit Radius r < 1 um den Nullpunkt, folgt, daß sogar |g(z)| ≤ \frac{1}{r} für jedes r < 1 mit |z| ≤ r. Für r → 1 folgt, daß |g(z)| ≤ 1, also |f(z)| ≤ |z| und |f′(0)| ≤ 1.

Ist |f(z)| = |z| für ein z ≠ 0 oder |f′(0)| = 1, so gibt es einen Punkt von D, in dem |g(z)| = 1 ist. Da überall |g(z)| ≤ 1 ist, wird also in diesem inneren Punkt das Maximum angenommen, und das ist nur für eine konstante Funktion möglich. Also ist g(z) eine Konstante vom Betrag eins, d.h. g(z) = e^{iφ} für einen geeigneten Winkel φ.

§3: Meromorphe Funktionen

Bereits mehrfach sind wir Funktionen wie f(z) = 1/z begegnet, die in einem oder mehreren Punkten nicht definiert sind, da sie dort die Form ”1/0“ haben, und wir haben auch, etwa beim Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra, für eine holomorphe Funktion g den Grenzwert lim_{z→∞} g(z) betrachtet. Intuitiv würde man gerne f(0) = ∞ und g(∞) schreiben: In diesem Paragraphen soll es darum gehen, unter welchen Bedingungen das möglich ist, und welche Sätze auch dann noch gelten, wenn der spezielle ”Wert“ ∞ erlaubt wird.

Definition: a) Die Riemannsche Zahlenkugel ist die Menge ℂ̂ = ℂ ∪ {∞} mit einem speziellen Symbol ∞.

b) Eine Teilmenge U ⊂ ℂ̂ heißt Umgebung von z_{0} ∈ ℂ ⊂ ℂ̂, wenn U ∖ {∞} eine Umgebung von z_{0} ist; U heißt Umgebung von ∞, wenn ∞ ∈ U, und wenn es ein R > 0 gibt, so daß {z ∈ ℂ | |z| > R} in U liegt. U heißt offen, wenn es Umgebung jedes seiner Punkte ist.

c) Eine Folge (z_{n})_{n∈ℕ} mit z_{n} ∈ ℂ̂ konvergiert gegen z ∈ ℂ̂, wenn es für jede Umgebung U von z ein N > 0 gibt, so daß z_{n} ∈ U für alle n > N.

d) Für eine offene Teilmenge U ∈ ℂ̂ heißt f: U → ℂ̂ stetig, wenn es für jedes z ∈ U und jede Umgebung W von w = f(z) eine Umgebung V von z gibt, so daß f(V) ⊂ W.

Ist beispielsweise (z_{n})_{n∈ℕ} eine Nullfolge (mit z_{n} ≠ 0 für alle n), so konvergiert die Folge (1/z_{n}) gegen ∞ und umgekehrt. Insbesondere konvergiert also die Folge der natürlichen Zahlen gegen ∞.

Meromorphe Funktionen 39

Unmittelbar aus der Definition der Stetigkeit folgt auch, daß die Abbildung

f: ℂ̂ → ℂ̂; z ↦ \{ \begin{matrix}1/z & für z ≠ 0, ∞ \\ ∞ & für z = 0 \\ 0 & für z = ∞ \end{matrix}

auch in den beiden Punkten 0 und ∞ stetig ist; es liegt daher nahe, kurz zu schreiben

\frac{1}{0} = ∞  und  \frac{1}{∞} = 0 .

Genauso kann man auch die Funktionen z ↦ z ± a und z ↦ a ± z für jedes feste a ∈ ℂ stetig fortsetzen durch die Vorschrift ∞ ↦ ∞, man kann also kurz schreiben

a ± ∞ = ∞ ± a = ∞ für alle a ∈ ℂ.

Auch für z ↦ az ist diese stetige Fortsetzung möglich, allerdings müßte man für a = 0 durch ∞ ↦ 0 fortsetzen, was nicht im Einklang mit anderen Grenzwerten für ”0·∞“ steht; deshalb begnügen wir uns mit der Rechenregel

a · ∞ = ∞ · a = ∞ für alle a ∈ ℂ ∖ {0}.

Problemlos ist das Produkt

∞ · ∞ = ∞,

aber für die Ausdrücke

∞ ± ∞, 0 · ∞, \frac{∞}{∞} und \frac{0}{0}

lassen sich keine sinnvollen Rechenregeln erklären, so daß diese Ausdrücke verboten bleiben.

ℂ̂ kann man sich auch geometrisch veranschaulichen: Legt man eine Kugel vom Radius eins so auf die komplexe Zahlenebene ℂ, daß ihr Südpol auf dem Punkt 0 liegt und die Polarachse senkrecht auf ℂ steht (für Formelfanatiker heißt das, daß man die Sphäre

{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + (z − 1)^{2} = 1}

betrachtet, wobei die (x, y)-Ebene mit ℂ identifiziert wird), so kann man jedem Punkt P der Kugeloberfläche mit Ausnahme des Nordpols einen eindeutig bestimmten Punkt von ℂ zuordnen, nämlich den Schnittpunkt der Geraden durch P und den Nordpol mit ℂ. Umgekehrt schneidet auch jede Gerade durch einen Punkt von ℂ und den Nordpol der Kugel die Kugeloberfläche in genau einem weiteren Punkt, so daß man eine bijektive Abbildung der Kugeloberfläche minus des Nordpols auf ℂ bekommt. Für eine Folge von Punkten der Kugeloberfläche, die gegen den Nordpol konvergieren, konvergieren die Bildpunkte in ℂ gegen ∞ und umgekehrt; daher kann ℂ̂ als topologischer Raum mit der Kugeloberfläche identifiziert werden und heißt deshalb auch Riemannsche Zahlenkugel oder – besser – Riemannsche Sphäre. Insbesondere folgt, daß ℂ̂ als topologischer Raum kompakt ist. Da dieses Resultat für das folgende noch wichtig sein wird und ich die Topologie der Sphäre nicht als bekannt voraussetzen möchte, sei es hier noch einmal direkt bewiesen:

Lemma 3.1: ℂ̂ ist kompakt.

Beweis: ℂ̂ = ⋃_{i∈I} U_{i} sei eine offene Überdeckung von ℂ̂; wir müssen zeigen, daß sie eine endliche Teilüberdeckung hat. Dazu sei U_{i_{0}} eine Überdeckungsmenge, die den Punkt ∞ enthält; da U_{i_{0}} offen ist, enthält U_{i_{0}} dann nach Definition auch das Äußere einer abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{D}. Diese ist abgeschlossen und beschränkt, wird also nach dem Satz von Heine-Borel durch endlich viele Mengen U_{i_{1}}, … U_{i_{r}} überdeckt. Somit ist ℂ̂ = U_{i_{0}} ∪ U_{i_{1}} ∪ ⋯ ∪ U_{i_{r}} kompakt.

Holomorphie im Punkt ∞ kann nicht ganz so wie im letzten Paragraphen definiert werden, denn für z = ∞ ist auch z + h = ∞ für jedes h ∈ ℂ, und auch die Existenz des Grenzwerts

lim_{w→∞} \frac{f(w) − f(∞)}{w − ∞}

nützt nichts, da der Nenner für w ≠ ∞ immer gleich ∞ ist, so daß der Grenzwert existiert und Null ist, sobald der Zähler nur endlich bleibt; die Funktion muß also nicht einmal stetig sein. Damit ist eine Definition dieser Art unbrauchbar für den Punkt z = ∞, und wir müßten einen erheblich größeren Aufwand treiben, um eine Definition zu finden, die in gleicher Weise für jedes z ∈ ℂ̂ gültig ist. Ein solcher Aufwand lohnt sich nicht: Da nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz jede stetige Funktion f: U → ℂ mit U ⊂ ℂ, die für irgendein z_{0} ∈ U in U ∖ {z_{0}} holomorph ist, tatsächlich in ganz U holomorph ist, definieren wir in Analogie

Definition: Eine Funktion f: U → ℂ auf einer offenen Teilmenge U ⊂ ℂ̂ heißt holomorph, wenn sie stetig und auf U ∖ {∞} holomorph ist.

Als Beispiel betrachten wir die Funktion

f: ℂ̂ ∖ {0} → ℂ; z ↦ 1/z.

Für z ≠ ∞ wissen wir bereits, daß die Funktion dort holomorph ist mit Ableitung f′(z) = −1/z^{2}; und für z → ∞ ist

lim_{z→∞} 1/z = 0 ,

die Funktion ist also stetig. Damit ist f außer im Nullpunkt überall holomorph.

Es ist kein Zufall, daß wir einen Punkt – hier den Nullpunkt – ausnehmen mußten, denn

Lemma 3.2: Jede holomorphe Funktion f: ℂ̂ → ℂ ist konstant.

Beweis: Mit ℂ̂ ist auch f(ℂ̂) ⊂ ℂ kompakt, also ist f beschränkt; demnach ist die Einschränkung von f auf ℂ nach dem Satz von Liouville konstant, und damit auch ganz f.

Damit sind holomorphe Funktionen auf ℂ̂ uninteressant; es liegt in der Tat viel näher, Funktionen ℂ̂ → ℂ̂ zu betrachten, wie etwa die Funktion z ↦ 1/z, und für diese so etwas wie Holomorphie zu definieren. Da der Cauchysche Integralsatz nach Lemma 2.7 falsch werden kann, wenn wir Funktionen betrachten, die im Innern eines Gebiets den Wert ∞ annehmen können, bezeichnen wir solche Funktionen nicht als holomorph, sondern führen einen neuen Namen ein: Sie sollen meromorphe Funktionen heißen. Trotzdem sollen sie so weit wie möglich die gleichen Eigenschaften haben wie holomorphe Funktionen: Beispielsweise darf es nach dem Identitätssatz für nichtkonstante holomorphe Funktionen f für keinen Wert a ∈ ℂ eine Menge M mit Häufungspunkt geben, so daß f(z) = a für alle z ∈ M; diese Eigenschaft soll per Analogie natürlich auch für a = ∞ gelten. Die konstante Funktion, die überall ∞ ist, interessiert uns nicht besonders; wir definieren daher

Definition: Die Abbildung f: U → ℂ̂ auf der offenen Teilmenge U von ℂ̂ heißt meromorph, wenn sie stetig ist und wenn es eine Teilmenge M ⊂ U gibt, die keinen Häufungspunkt in U hat, so daß f auf U ∖ M holomorph ist.

Eine so definierte meromorphe Funktion kann, sofern sie nicht konstant ist, in der Tat auch keinen anderen Wert a ∈ ℂ auf einer Menge mit Häufungspunkt in U annehmen, denn nach dem Identitätssatz Satz 2.13 wäre f sonst konstant gleich a auf U ∖ M und damit als stetige Funktion auf ganz U.

Man beachte, daß sich nicht jede holomorphe Funktion, die in einer Umgebung eines Punktes mit Ausnahme dieses Punktes definiert ist, als meromorphe Funktion in diesen Punkt hinein fortsetzen läßt. Ein einfaches Beispiel dafür ist die Exponentialfunktion: Diese ist im Punkt ∞ nicht definiert, und es gibt auch keine stetige Fortsetzung in diesen Punkt, denn e^{x+iy} = e^{x}(cos y + i sin y) kann auch für beliebig großen Betrag von x + iy beliebig große und beliebig kleine Werte annehmen, je nachdem ob x oder y groß wird. Tatsächlich kann man sich leicht überlegen, daß die Exponentialfunktion in jeder beliebigen Umgebung von ∞ jeden beliebigen Wert außer 0 und ∞ annimmt, und damit kann natürlich kein Grenzwert existieren.

Definition: U ⊂ ℂ̂ sei eine offene Menge, z_{0} ∈ U, und die Funktion f: U ∖ {z_{0}} → ℂ̂ sei meromorph. Falls es keine stetige Fortsetzung von f auf ganz U gibt, heißt z_{0} eine wesentliche Singularität von f.

Demnach hat also die Exponentialfunktion im Punkt ∞ eine wesentliche Singularität. Es ist kein Zufall, daß sie in jeder Umgebung dieses Punktes abgesehen von den beiden Ausnahmen 0 und ∞ jeden Wert annimmt; nach einem Satz von Picard kann eine meromorphe Funktionen in einer Umgebung einer wesentlichen Singularität außer ∞ höchstens noch eine komplexe Zahl auslassen. Dieser Satz ist allerdings mit unseren bisherigen Methoden noch nicht zu beweisen; um zu sehen, daß es in der Umgebung einer wesentlichen Singularität sehr chaotisch zugeht, müssen wir uns begnügen mit dem Satz von Casorati-Weierstraß, wonach die Funktion wenigstens jedem Wert beliebig nahekommt:

Satz 3.3: U ⊂ ℂ̂ sei eine offene Menge, z_{0} ∈ U, und die Funktion f: U ∖ {z_{0}} → ℂ̂ sei meromorph mit einer wesentlichen Singularität in z_{0}. Dann gibt es zu jedem w ∈ ℂ̂ eine Folge (z_{n})_{n∈ℕ} von komplexen Zahlen mit lim_{n→∞} z_{n} = z_{0} und lim_{n→∞} f(z_{n}) = w.

Beweis: Wir können uns auf w ∈ ℂ beschränken, denn wenn es für jede natürliche Zahl k ein Folge (z_{kn}) gibt, die gegen z_{0} konvergiert mit lim_{n→∞} f(z_{kn}) = k, so ist lim_{n→∞} f(z_{nn}) = ∞.

Falls es zu irgendeinem w_{0} ∈ ℂ keine Folge (z_{n}) wie oben gäbe, hätte w_{0} eine Umgebung V, in der kein Punkt aus f(U ∖ {z_{0}}) läge. Da jede Umgebung eine abgeschlossene Kreisscheibe enthält, wäre die Funktion z ↦ 1/(f(z) − w_{0}) beschränkt in einer Umgebung von z_{0}, nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz also sogar holomorph, und damit wäre auch f holomorph fortsetzbar nach z_{0}, im Widerspruch zur Annahme.

Nachdem wir gesehen haben, wie chaotisch es in der Umgebung einer wesentlichen Singularität zugeht, wollen wir nun eine meromorphe Funktion f in der Umgebung eines Punktes z_{0} betrachten, für den f(z_{0}) = ∞ ist. Da die Menge M aller Punkte z, in denen f(z) = ∞ ist, keinen Häufungspunkt in U hat, gibt es eine Umgebung V von z_{0}, die außer z_{0} keinen weiteren Punkt aus M enthält; wegen der Stetigkeit von f kann V so gewählt werden, daß f auf V keine Nullstelle hat. Dann ist mit f auch

g: U → ℂ; z ↦ 1/f(z)

eine stetige Funktion, die auf U ∖ {z_{0}} und damit nach Lemma 2.10 auf ganz U holomorph ist mit g(z_{0}) = 0. Als holomorphe Funktion ist g analytisch, hat also eine Potenzreihenentwicklung

g(z) = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}

um z_{0}, wobei zumindest a_{0} = 0 ist. Sei a_{k} der erste nichtverschwindende Koeffizient dieser Potenzreihe. Dann ist auch

\frac{g(z)}{(z − z_{0})^{k}} = ∑_{n=0}^{∞} a_{n+k}(z − z_{0})^{n}

holomorph in einer Umgebung von z_{0} und nimmt dort nirgends den Wert Null an, d.h. auch der Kehrwert dieser Funktion ist holomorph. Für z ≠ z_{0} ist aber

\frac{(z − z_{0})^{k}}{g(z)} = (z − z_{0})^{k}f(z) ,

also läßt sich die Funktion (z − z_{0})^{k}f(z) zu einer auch in z_{0} holomorphen Funktion V → ℂ fortsetzen und lokal um z_{0} in eine Potenzreihe

(z − z_{0})^{k}f(z) = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}(z − z_{0})^{n}

mit

b_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ)(ζ − z_{0})^{k} dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n−k+1}}

entwickeln. Für z ≠ z_{0} ist dann

f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n} mit c_{n} = b_{n+k} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} ,

und da die Summe für z = z_{0} bereits als ersten Summanden den Term ∞ hat, stellt diese Reihe auch für z = z_{0} die Funktion f dar. Sie heißt Laurentreihe von f.

Satz 3.4: Die Funktion f: G → ℂ sei im Gebiet G ⊂ ℂ meromorph. Dann gibt es für jeden Punkt z_{0} ∈ G ein k ∈ ℤ, so daß für jedes z aus einer offenen Kreisscheibe D um z_{0}, deren Abschluß ganz in G liegt und keinen Punkt z_{1} enthält mit f(z_{1}) = ∞, gilt

f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} mit a_{n} = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(ζ) dζ}{(ζ − z_{0})^{n+1}} ∈ ℂ.

Diese Darstellung von f als Potenzreihe in (z − z_{0}) ist eindeutig.

Beweis: Dies folgt in der Tat sofort aus obiger Rechnung zusammen mit Satz 2.11, denn (z − z_{0})^{k}f(z) ist in einer Umgebung von \overline{D} holomorph.

Für den Punkt z_{0} = ∞ wäre ein solcher Satz natürlich sinnlos, da (z − z_{0})^{n} für jedes z ∈ ℂ und jedes n > 0 gleich ∞ ist. Deshalb betrachten wir für z_{0} = ∞ im allgemeinen die Funktion f(1/z) in der Umgebung von Null, und dafür kann Satz 3.4 problemlos angewandt werden. Ein erstes Beispiel dafür liefert die folgende

Definition: Die meromorphe Funktion f: U → ℂ̂ habe um den Punkt z_{0} ∈ ℂ die Potenzreihenentwicklung

f(z) = ∑_{n=k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} mit a_{k} ≠ 0 .

Dann bezeichnen wir k als die Ordnung von f im Punkt z_{0}, in Zeichen k = ord_{z_{0}} f. Liegt z = ∞ in U, so betrachten wir in einer geeigneten Umgebung von Null die Funktion g(z) = f(1/z) und definieren ord_{∞} f = ord_{0} g. Ist k > 0, so sagen wir, f habe in z_{0} eine k-fache Nullstelle; ist k = −ℓ < 0, so nennen wir z_{0} eine ℓ-fache Polstelle oder einen Pol der Ordnung ℓ. Für die konstante Funktion f ≡ 0 definieren wir, daß ord_{z_{0}} f = ∞ für alle z_{0} ∈ ℂ̂.

Beispielsweise hat also die Funktion

f(z) = \frac{(z − 1)(z − 3)^{2}(z − 5)^{7}}{z^{3}(z − 2)^{8}(z − 4)^{20}}

für z = 1 eine einfache, für z = 3 eine doppelte und für z = 5 eine siebenfache Nullstelle; z = 3 ist eine einfache Polstelle, z = 2 eine achtfache, und z = 4 ist ein Pol der Ordnung zwanzig. Für alle anderen Werte z = z_{0} ∈ ℂ ist ord_{z_{0}} f = 0. Für z = ∞ betrachten wir die Funktion

\begin{aligned}g(z) & = f(1/z) = \frac{(1/z − 1)(1/z − 3)^{2}(1/z − 5)^{7}}{1/z^{3}(1/z − 2)^{8}(1/z − 4)^{20}} \\ & = z^{21} · \frac{(1 − z)(1 − 3z)^{2}(1 − 5z)^{7}}{(1 − 2z)^{8}(1 − 4z)^{20}} , \end{aligned}

die für z = 0 eine 21-fache Nullstelle hat. Daher ist auch ∞ eine 21-fache Nullstelle von f.

Allgemein ist offenbar ord_{∞} f = n ≠ ∞ genau dann, wenn sich f als f = z^{−n}g schreiben läßt mit einer in ∞ nicht verschwindenden und in einer Umgebung von ∞ holomorphen Funktion g. Weitere leicht verifizierbare Eigenschaften der Ordnung sind

ord_{z_{0}} fg = ord_{z_{0}} f + ord_{z_{0}} g  (1)
ord_{z_{0}} \frac{f}{g} = ord_{z_{0}} f − ord_{z_{0}} g  (2)
ord_{z_{0}} f ± g ≥ min(ord_{z_{0}} f, ord_{z_{0}} g).  (3)

Genauer können wir sogar sagen, daß in (3) das Gleichheitszeichen gilt, sobald die Ordnungen ord_{z_{0}} f und ord_{z_{0}} g voneinander verschieden sind; (3) mit diesem Zusatz wird gelegentlich als ultrametrische Dreiecksungleichung bezeichnet.

Definition: a) Ist f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} in einer Umgebung von z ∈ ℂ, so nennen wir

H(z) = ∑_{n=−k}^{−1} a_{n}(z − z_{0})^{n}

den Hauptteil von f im Punkt z_{0}.

b) Ist f(1/z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}z^{n} in einer Umgebung der Null, so nennen wir

H(z) = ∑_{n=1}^{k} a_{−n}z^{n}

den Hauptteil von f im Punkt ∞.

Der Name Hauptteil ist zumindest für meromorphe Funktionen, die auf ganz ℂ̂ definiert sind, berechtigt, denn für diese gilt

Lemma 3.5: Eine meromorphe Funktion f: ℂ̂ → ℂ̂ ist durch ihre Hauptteile bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

Beweis: Falls g: ℂ̂ → ℂ̂ die gleichen Hauptteile wie f hat, ist der Hauptteil von f − g in jedem Punkt gleich Null, f − g ist also auf ganz ℂ̂ holomorph und damit eine Konstante.

Allgemeiner folgt

Satz 3.6: Jede auf ganz ℂ̂ meromorphe Funktion ist rational, d.h. ein Quotient zweier Polynome.

Beweis: f: ℂ̂ → ℂ̂ sei meromorph; dann gibt es nach Definition höchstens endlich viele Pole, denn sonst hätten die Pole auf ℂ̂ einen Häufungspunkt, im Widerspruch zur Definition einer auf ℂ̂ meromorphen Funktion. Ist ∞ einer dieser Pole, etwa mit ord_{∞} f = −n, so läßt sich f = z^{n}g schreiben mit einer ebenfalls auf ganz ℂ̂ meromorphen Funktion g, die in ∞ holomorph ist, und es genügt, die Rationalität von g zu zeigen. Daher seien die endlich vielen Pole z_{1}, …, z_{r} von f o.B.d.A. alle von ∞ verschieden. Dann können wir die Hauptteile H_{j} von f in den Punkten z_{j} betrachten; diese sind rational, also auf ganz ℂ̂ meromorph, und

F = f − ∑_{j=1}^{r} H_{j}

ist sogar auf ganz ℂ̂ holomorph, da jedes H_{j} auf ℂ̂ ∖ {z_{j}} holomorph ist und f − H_{j} in z_{j} holomorph ist. Daher ist F nach dem Satz von Liouville konstant, also ist f abgesehen von einer Konstanten gerade die Summe der H_{j} und damit eine rationale Funktion.

Da umgekehrt natürlich auch jede rationale Funktion meromorph auf ganz ℂ̂ ist, sind also die auf ganz ℂ̂ meromorphen Funktionen genau die rationalen Funktionen. Auf echten Teilmengen von ℂ̂ gibt es natürlich noch viele weitere meromorphe Funktionen, insbesondere zum Beispiel die vielen holomorphen Funktionen auf ℂ, die wir aus Polynomen und Exponentialfunktionen konstruieren können. Der Tangens ist ein Beispiel einer auf ganz ℂ meromorphen, aber nicht holomorphen Funktion, und im weiteren Verlauf der Vorlesung werden wir noch zahlreiche weitere solche Beispiele kennenlernen.

Der Cauchysche Integralsatz gilt natürlich nicht für meromorphe Funktionen; wie wir in Lemma 2.7 gesehen haben, ist er schon für f(z) = 1/z nicht mehr erfüllt. Tatsächlich ist das aber im wesentlichen schon die einzige Ausnahme, denn es gilt:

Lemma 3.7: Die Funktion f: G → ℂ̂ sei meromorph im Gebiet G, und D sei eine offene Kreisscheibe, deren Abschluß ganz in G liege und mit der möglichen Ausnahme eines Punktes z_{0} keinen Pol von f enthalte. Weiter sei

f(z) = ∑_{n=−k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n}

die Laurentreihe von f um z_{0}. Dann ist

∫_{∂D} f(z) dz = 2πia_{−1} .

Beweis: H(z) sei der Hauptteil von f(z) in z_{0}; dann ist f(z) = H(z) + g(z) mit einer in einer Umgebung von \overline{D} holomorphen Funktion g. Daher verschwindet das Integral über g(z) und

∫_{∂D} f(z) dz = ∫_{∂D} H(z) dz = ∑_{n=1}^{k} a_{−n} ∫_{∂D} \frac{dz}{(z − z_{0})^{n}} = 2πia_{−1}

nach Lemma 2.7, denn für n ≠ 1 hat 1/(z −z_{0})^{n} eine Stammfunktion, so daß das Integral nach Lemma 2.3 verschwindet.

Definition: Der Koeffizient a_{−1} heißt das Residuum von f im Punkt z_{0}, in Zeichen: a_{−1} = Res_{z_{0}} f.

Das gerade bewiesene Lemma läßt sich dann verallgemeinern zum

Residuensatz: Die Funktion f: G → ℂ̂ sei meromorph im Gebiet G, und D sei eine offene Kreisscheibe, deren Abschluß ganz in G liege und deren Rand keinen Pol von f enthalte. Dann ist

∫_{∂D} f(z) dz = 2πi ∑_{z∈D} Res_{z} f .

Beweis: Gäbe es in D unendlich viele Polstellen von f, so müßten die Pole in der abgeschlossenen Kreisscheibe \overline{D} ⊂ G eine Häufungspunkt haben, was nach Definition einer meromorphen Funktion ausgeschlossen ist. Daher gibt es höchstens endlich viele Polstellen z_{1}, …, z_{r}. Die Hauptteile in diesen Polstellen seien H_{1}(z), …, H_{r}(z). Diese sind auf ganz ℂ̂ meromorphe Funktionen, daher ist

g(z) = f(z) − H_{1}(z) − ⋯ − H_{r}(z)

in einer Umgebung von \overline{D} holomorph. Also ist nach dem gerade bewiesenen Lemma

∫_{∂D} f(z) dz = ∑_{j=1}^{r} ∫_{∂D} H_{r}(z) dz = 2πi ∑_{j=1}^{r} Res_{z_{j}} f = 2πi ∑_{z∈D} Res_{z} f ,

wie behauptet.

Der Residuensatz hat zahlreiche Anwendungen in der Funktionentheorie. Als erstes Beispiel dafür, wie sich andere Konzepte durch Residuen ausdrücken lassen, betrachten wir zu einer meromorphen Funktion f: G → ℂ̂ die ebenfalls auf G meromorphe Funktion f′/f. Für z_{0} ∈ G und k = ord_{z_{0}} f ist dann

f(z) = ∑_{n≥k}^{∞} a_{n}(z − z_{0})^{n} = a_{k}(z − z_{0})^{k}g(z)

mit einer in z_{0} holomorphen Funktion g mit g(z_{0}) = 1. Entsprechend ist

f′(z) = ∑_{n≥k}^{∞} na_{n}(z − z_{0})^{n} = ka_{k}(z − z_{0})^{k−1}h(z)

mit einer in z_{0} holomorphen Funktion h mit h(z_{0}) = 1, also

\frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{ka_{k}(z − z_{0})^{k−1}h(z)}{a_{k}(z − z_{0})^{k}g(z)} = \frac{k}{z − z_{0}} · \frac{h(z)}{g(z)}

mit h(z_{0})/g(z_{0}) = 1. Also ist

Res_{z_{0}} \frac{f′}{f} = k = ord_{z_{0}} f .

Damit folgt sofort aus dem Residuensatz Satz 3.8: Die Funktion f: G → ℂ̂ sei meromorph im Gebiet G und D sei eine offene Kreisscheibe, deren Abschluß ganz in G liege und deren Rand keine Nullstellen oder Pole von f enthalte. Dann ist

∫_{∂D} \frac{f′(z)}{f(z)}dz = 2πi ∑_{z∈D} ord_{z} f .

Allgemeiner können wir anstelle der Nullstellen auch die a-Stellen einer Funktion zählen:

Definition: Die meromorphe Funktion f: G → ℂ̂ nimmt den Wert a ∈ ℂ im Punkt z_{0} ∈ G mit Vielfachheit k ≥ 1 an, wenn ord_{z_{0}}(f−a) = k ist. Sie nimmt den Punkt ∞ mit Vielfachheit k an, wenn z_{0} ein k-facher Pol ist. Sie nimmt a ∈ ℂ̂ in der Menge M ⊂ ℂ̂ mit Vielfachheit n an, falls es in M endlich viele Punkte z_{i} gibt mit f(z_{i}) = a, und die Summe der Vielfachheiten, mit denen a dort angenommen wird, gleich n ist.

Satz 3.9: f: ℂ̂ → ℂ̂ sei auf ganz ℂ̂ meromorph und nicht konstant. Dann nimmt f jeden Wert a ∈ ℂ̂ mit gleicher Vielfachheit an.

Beweis: Es genügt zu zeigen, daß jeder Wert a ∈ ℂ mit der gleichen Vielfachheit angenommen wird wie ∞. Da f und f − a den Wert ∞ mit gleicher Vielfachheit annehmen, reicht es sogar, daß jedes f die Werte 0 und ∞ mit gleicher Vielfachheit annimmt, daß also

∑_{z∈_{ℂ}}ord_{z} f = 0

ist. Dabei können wir o.B.d.A. annehmen, daß ∞ weder Pol noch Nullstelle von f ist, denn ansonsten können wir f = z^{k}g schreiben mit einer Funktion g, die diese Voraussetzung erfüllt, und da der Faktor z^{k} sowohl die Null als auch ∞ mit Vielfachheit k annimmt, genügt es, die Behauptung für g zu beweisen.

Dazu sei D_{r} = {z ∈ ℂ | |z| ≤ r} der Kreis mit Radius r um den Nullpunkt. Dann gibt es eine reelle Zahl R, so daß D_{r} für jedes r > R die sämtlichen Nullstellen und Polstellen von f enthält, denn Polstellen von f dürfen nach Definition einer meromorphen Funktion keinen Häufungspunkt in ℂ̂ haben, und die Nullstellen dürfen es nicht, da f sonst konstant wäre; wegen der Kompaktheit von ℂ̂ gibt es also nur endlich viele Nullstellen und Polstellen, und wir können R gleich dem Betrag der größten setzen.

Damit ist für jedes r > R

∑_{z∈_{ℂ}}ord_{z} f = ∫_{∂D_{r}} \frac{f′(z)}{f(z)} dz,

und wir müssen zeigen, daß dieses Integral verschwindet. Nach der Substitutionsregel ist für h(z) = f′(z)/f(z)

∫_{∂D_{r}} h(z) dz = ∫_{∂D_{1/r}} h(\frac{1}{z}) d\frac{1}{z} = − ∫_{∂D_{1/r}} \frac{h(1/z)}{z^{2}} dz.

Da h nach Voraussetzung in ∞ holomorph ist, läßt sich

h(\frac{1}{z}) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{z^{n}}

in einer gewissen Umgebung der Null, die für hinreichend großes r auch D_{1/r} enthält, in eine Potenzreihe entwickeln, und in

\frac{h(1/z)}{z^{2}} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{a_{n}}{z^{n+2}}

hat jeder der Summanden eine Stammfunktion, also verschwindet das Integral über ∂D_{1/r} für jeden Term und damit für die gesamte Funktion.

Definition: Die gemeinsame Vielfachheit n, mit der f: ℂ̂ → ℂ̂ jedes a ∈ ℂ̂ annimmt, heißt Grad von f.

Als erstes Beispiel betrachten wir ein Polynom, das im algebraischen Sinne den Grad n habe, d.h.

f(z) = a_{n}z^{n} + ⋯ + a_{0} mit a_{n} ≠ 0 .

Da

f(\frac{1}{z}) = \frac{a_{n}}{z^{n}} + ⋯ + a_{0} = z^{−n}(a_{n} + a_{n−1}z + ⋯ + a_{0}z^{n})

im Nullpunkt eine n-fache Polstelle hat, hat f in ∞ einen n-fachen Pol und ist sonst überall endlich, der gerade definierte Grad ist also gleich dem üblichen Grad n.

Als zweites Beispiel betrachten wir eine rationale Funktion f(z) = P (z)/Q(z) mit zwei teilerfremden Polynomen P (z) und Q(z) vom Grad n bzw. m. Dann ist

ord_{∞} f = ord_{∞} P − ord_{∞} Q = −n + m = m − n.

Für m ≥ n hat f also in ∞ eine (m − n)-fache Nullstelle, außerdem nimmt P, und damit f, wie wir beim ersten Beispiel gesehen haben den Wert Null auf ℂ mit Vielfachheit n an, insgesamt nimmt f auf ℂ̂ die Null also mit Vielfachheit m an.

Für m < n hat f in ∞ eine (n − m)-fache Nullstelle, außerdem nimmt Q die Null in ℂ mit Vielfachheit m an, d.h. ∞ wird von f auf ℂ mit Vielfachheit m angenommen und damit auf ℂ̂ mit Vielfachheit n. Somit gilt:

Lemma 3.10: Der Grad einer rationalen Funktion f(z) = P (z)/Q(z) ist

deg f = max(deg P, deg Q) .

Nachdem wir uns wir uns anhand einiger weniger Beispiele davon überzeugt haben, daß der zunächst etwas technisch aussehende Residuenbegriff auch Anwendungen auf scheinbar nicht mit Residuen zusammenhängende Fragen hat, wollen wir seine Voraussetzungen etwas abmildern. Wir wollen, beispielsweise, nicht nur die Nullstellen einer Funktion in einer Kreisscheibe zählen, sondern auch die in einem beliebigen Gebiet und auch in vielen späteren Anwendungen wird es wesentlich sein, daß wir Integrationswege möglichst frei wählen können. Es wäre natürlich einfach, den Residuensatzes so wie den Cauchyschen Integralsatz für den Rand eines beliebigen konvexen Gebiets zu beweisen; siehe dazu Aufgabe 2 auf dem sechsten Übungsblatt. Für viele Fälle sind aber auch konvexe Gebiete zu speziell, etwa dann, wenn es darum geht, einzelne Punkte oder Kreisscheiben zu vermeiden. Deshalb werden wir hier beliebige Integrationswege zulassen und damit auch den Cauchyschen Integralsatz verallgemeinern.

Tatsächlich werden wir nicht nur beliebige Integrationswege zulassen, sondern auch den Begriff des Integrationswegs durch einen allgemeineren ersetzen. Wenn nämlich eine meromorphe Funktion in einem Gebiet etwa drei Polstellen hat, so erwarten wir, daß das Integral über den Rand des Gebiets gleich der Summe der Residuen in den drei Polen ist, also gleich dem Integral über drei Kreislinien, deren Mittelpunkte die Polstellen sind. Ein solches Integral über drei Kreislinien, über einen unzusammenhängenden Integrationsweg also, ist bislang noch nicht erlaubt. Außerdem werden wir erwarten, daß ein Integrationsweg, der sich mehrfach um eine Polstelle windet, auf das gleiche Integral führt wie das mehrfache Durchlaufen einer Kreislinie um diesen Punkt; auch solches mehrfaches Durchlaufen haben wir bislang noch nicht betrachtet. Der neue Begriff, der beides ermöglicht, ist der Begriff der Kette:

Definition: a) Eine Kette ist eine endliche formale Linearkombination Γ = ∑_{j=1}^{r} n_{j}γ_{j} von Integrationswegen γ_{j} mit ganzzahligen Koeffizienten n_{j}. Der Träger |Γ| von Γ ist die Vereinigung aller |γ_{j}|, für die n_{j} ≠ 0 ist.

b) Für eine in der offenen Menge U meromorphe Funktion f und eine Kette Γ = ∑_{j=1}^{r} n_{j}γ_{j} mit |Γ| ⊂ U so, daß f keinen Pol auf |Γ| hat, ist

∫_{Γ} f(z) dz = ∑_{j=1}^{r} n_{j} ∫_{γ_{j}} f(z) dz.

c) Zwei Ketten Γ und Γ′ heißen homolog in der offenen Menge U, wenn |Γ| und |Γ′| in U liegen und für jede in U holomorphe Funktion f gilt

∫_{Γ} f(z) dz = ∫_{Γ′} f(z) dz

Γ heißt nullhomolog, wenn dieses Integral für jede in U holomorphe Funktion verschwindet.

d) Eine Kette Γ = ∑_{j=1}^{r} n_{j}γ_{j} heißt Zyklus, wenn die formale Summe ∑_{j=1}^{r} n_{j}(A_{j} − E_{j}) verschwindet, wobei A_{j} und E_{j} den Anfangs- und Endpunkt des Integrationswegs γ_{j} bezeichnen.

Einige Hörer werden wahrscheinlich aus der Topologie eine andere Definition von Homologie kennen; die allgemeinste Form des Cauchyschen Integralsatzes sagt gerade, daß diese Definitionen (bezogen auf das Holomorphiegebiet der betrachteten Funktionen) äquivalent ist zur obigen. Um dieses Resultat (in etwas abgeschwächter Form) zu beweisen, werden wir nun die Abhängigkeit eines Integrals von der Kette, über die integriert wird, etwas genauer untersuchen. Praktisch aus der Definition folgt

Lemma 3.11: Die Funktion f sei in der offenen Menge U meromorph, und γ: [a, b] → U sei ein Integrationsweg, so daß f keine Pole auf |γ| habe. Weiter sei

a = a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{r} = b

eine Unterteilung des Intervalls [a, b], der Integrationsweg γ_{j} sei die Einschränkung von γ auf das Intervall [a_{j−1}, a_{j}], und Γ sei die Summe der γ_{j}. Dann ist

∫_{Γ} f(z) dz = ∫_{γ} f(z) dz.

In den Fällen, in denen wir eine Kette als Integrationsweg im üblichen Sinne auffassen können, ist also auch das Integral das übliche. Außerdem folgt sofort aus der Kettenregel, daß das Integral über die Kette −γ gerade das Integral über den rückwärts durchlaufenen Integrationsweg

γ′ : [a, b] → U; t ↦ γ(a + b − t)

ist. Schließlich lassen sich die Zykeln auf geschlossene Integrationswege zurückführen nach

Lemma 3.12: Jeder Zyklus, dessen Träger in der offenen Menge U liegt, ist dort homolog zu einer Summe von geschlossenen Integrationswegen, die den gleichen Träger hat.

Beweis: Γ = ∑_{j=1}^{r} n_{j}γ_{j} sei ein Zyklus mit Träger in U. Wie wir gerade gesehen habe, können wir durch Umdrehen einiger Integrationswege erreichen, daß alle n_{j} ≥ 0 sind. Indem wir dann noch jedes n_{j}γ_{j} durch die n_{j}-fache Summe von γ_{j} mit sich selbst ersetzen, können wir o.B.d.A. annehmen, daß alle n_{j} = 1 sind. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach r. Für r = 1 muß γ_{1} den gleichen Anfangs- und Endpunkt haben, ist also selbst ein geschlossener Integrationsweg. Für r > 1 ist entweder γ_{1} bereits ein geschlossener Integrationsweg; dann folgt die Behauptung, da Γ−γ_{1} dann als Zyklus mit kleinerem r nach Induktionsvoraussetzung eine Linearkombination von geschlossenen Integrationswegen ist. Oder aber γ_{1} ist nicht geschlossen. Dann gibt es nach Definition eines Zyklus ein γ_{k}, dessen Anfangspunkt A_{k} gleich dem Endpunkt E_{1} von γ_{1} ist. Da, wieder nach der Kettenregel, ein Integrationsweg γ_{j}: [a_{j}, b_{j}] → U homolog ist zu [a_{j} + s, b_{j} + s] → U; t ↦ γ_{j}(t − s), können wir erreichen, daß o.B.d.A. b_{1} = a_{k} ist, γ_{1} und γ_{k} lassen sich also im Sinne des vorigen Lemmas zusammensetzen zu einem einzigen Integrationsweg γ. Damit ist Γ homolog zu

Γ′ = γ + ∑_{{j=2 \atop j≠k}}^{r} γ_{j} ,

und diese Summe hat nur r − 1 Summanden, ist also nach Induktionsvoraussetzung homolog zu einer Summe von geschlossenen Integrationswegen.

Der Residuensatz legt die Vermutung nahe, daß ein Zyklus jedenfalls dann nicht nullhomolog ist, wenn er um einen Pol erster Ordnung herumläuft. Im folgenden wird es vor allem darum gehen, wie man dieses ”um einen Punkt herumlaufen“ exakt definieren kann.

Beginnen wir mit Winkeln: Zwischen zwei komplexen Zahlen z und w läst sich der Winkel ω_{z_{0}}(z, w) mit Zentrum z_{0}, der Winkel zwischen den Strecken von z_{0} nach z und von z_{0} nach w also, wie folgt berechnen: Ist

z − z_{0} = r_{1}e^{iφ_{1}} und w − z_{0} = r_{2}e^{iφ_{2}} ,

so ist

ω_{z_{0}}(z, w) = φ_{2} − φ_{1} + 2kπ,

wobei k ∈ ℤ so gewählt sei, daß −π < ω_{z_{0}}(z, w) ≤ π ist.

Für einen Integrationsweg γ: [a, b] → ℂ und einen Punkt z_{0} ∉ |γ| wählen wir nun eine Unterteilung

a = a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{r} = b,

des Intervalls [a, b], so daß es für jedes jedes j zwischen 1 und r eine Gerade ℓ_{j} durch z_{0} gibt, so daß γ([a_{j−1}, a_{j}]) ganz auf einer Seite von ℓ_{j} liegt (wobei wir Punkte auf ℓ_{j} selbst zulassen können). Eine solche Unterteilung gibt es: Jeder Punkt von |γ| hat natürlich eine Umgebung, die ganz auf einer Seite einer Geraden durch z_{0} liegt, und die Umgebungen zu allen dieser Punkte bilden eine Überdeckung der kompakten Menge |γ|. Somit gibt es eine endliche Teilüberdeckung, o.B.d.A. durch zusammenhängende Mengen, und deren Urbilder sind die Teilintervalle (a_{j−1}, a_{j}). Da ein Teilstück von |γ|, das ganz auf einer Seite einer Geraden durch z_{0} liegt, sicherlich nicht um z_{0} herumlaufen kann, können wir den gesamten Umlaufwinkel von γ um z_{0} definieren durch

ω_{z_{0}}(γ) = ∑_{j=1}^{r} ω_{z_{0}}(γ(a_{j−1}), γ(a_{j})).

Offenbar unterscheidet sich ω_{z_{0}}(γ) von ω_{z_{0}}(γ(a), γ(b)) nur durch ein ganzzahliges Vielfaches von 2π, insbesondere ist ω_{z_{0}}(γ) für einen geschlossenen Integrationsweg selbst ein ganzzahliges Vielfaches von 2π.

Definition: Die Umlaufzahl eines geschlossenen Integrationswegs γ um einen Punkt z_{0} ∉ |γ| ist

n(γ, z_{0}) = \frac{ω_{z_{0}}(γ)}{2π} .

Für einen Zyklus Γ = γ_{1} + ⋯ + γ_{r} ist entsprechend

n(Γ, z_{0}) = \frac{1}{2π} ∑_{j=1}^{r} ω_{z_{0}}(γ_{j}) .

Da zwei verschiedene Zerlegungen von [a, b] stets eine gemeinsame Verfeinerung haben, wäre es recht einfach, die Unabhängigkeit dieser Definition von der Zerlegung einzusehen; wir bekommen sie aber ohnehin gratis als Korollar zu folgendem

Lemma 3.13: Für jeden Zyklus Γ und jeden Punkt z_{0} ∈ ℂ ∖ |Γ| ist

n(Γ, z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{dz}{z − z_{0}} .

Beweis: Es genügt natürlich, dies für einen geschlossenen Integrationsweg γ: [a, b] → ℂ zu beweisen. Dazu sei

a = a_{0} < a_{1} < ⋯ < a_{r} = b

eine Unterteilung von [a, b] wie in der Definition der Umlaufzahl, und γ_{j} sei die Einschränkung von γ auf [a_{j−1}, a_{j}]. Dann ist

∫_{γ_{j}} \frac{dz}{z − z_{0}} = ∫_{a_{j−1}}^{a_{j}} \frac{γ′(t) dt}{γ(t) − z_{0}} .

Wir schreiben γ(t) − z_{0} in Polarkoordinaten als r(t)e^{iφ(t)}, wobei r(t) eine stetige stückweise differenzierbare Funktionen ist und auch φ als eine solche gewählt werden kann. Dann ist

γ′(t) = r′(t)e^{iφ(t)} + ir(t)φ′(t)e^{iφ(t)}

und

\frac{γ′(t)}{γ(t) − z_{0}} = \frac{r′(t)}{r(t)} + iφ′(t) ,

also

∫_{γ_{j}} \frac{dz}{z − z_{0}} = ∫_{a_{j−1}}^{a_{j}} \frac{r′(t)}{r(t)} dt + i ∫_{a_{j−1}}^{a_{j}} φ′(t) dt
= log r(a_{j}) − log r(a_{j−1}) + i(φ(a_{j}) − φ(a_{j−1}))
= log r(a_{j}) − log r(a_{j−1}) + iω_{z_{0}}(γ_{j}) .

Insgesamt erhalten wir, da r(a_{0}) = r(a) = r(b) = r(a_{r}) ist

∫_{γ} \frac{dz}{z − z_{0}} = ∑_{j=1}^{r} ∫_{γ_{j}} \frac{dz}{z − z_{0}}

= ∑_{j=1}^{r}(log r(a_{j}) − log r(a_{j−1})) + ∑_{j=1}^{r} ω_{z_{0}}(γ_{j})

= log r(a_{r}) − log r(a_{0}) + ω_{z_{0}}(γ) = ω_{z_{0}}(γ) .

Damit ist der Satz bewiesen.

Korollar: Die Umlaufzahl n(Γ, z_{0}) ist als Funktion von z_{0} stetig auf ℂ ∖ |Γ| und damit insbesondere konstant auf jeder Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |Γ|.

Der Beweis ist klar: Da der Integrand im Lemma 3.13 stetig von z_{0} abhängt, gilt das gleiche auch fürs Integral.

Als ersten Schritt zur Geometrisierung des hier definierten Homologiebegriffs und als erste Anwendung der Umlaufzahl zeigen wir, daß sich Homologie auf die Berechnung von Umlaufzahlen zurückführen läßt:

Satz 3.14: Zwei Zykeln Γ und Γ′ sind genau dann homolog in der offenen Menge U, wenn für jeden Punkt z_{0} ∉ U die Umlaufzahlen n(Γ, z_{0}) und n(Γ′, z_{0}) übereinstimmen. Insbesondere ist Γ genau dann nullhomolog, wenn n(Γ, z_{0}) = 0 für alle z_{0} ∉ U.

Beweis: Für z_{0} ≠ U ist die Funktion z ↦ 1/(z − z_{0}) in U holomorph; falls Γ und Γ′ homolog in U sind, ist also nach Lemma 3.13 und der Definition von Homologie

n(Γ, z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{dz}{z − z_{0}} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ′} \frac{dz}{z − z_{0}} = n(Γ′, z_{0}) .

Für die Umkehrung genügt es, wenn wir zeigen, daß ∫_{Γ} f(z) dz für jede in U holomorphe Funktion f verschwindet, sofern n(Γ, z_{0}) für jedes z_{0} ∉ U verschwindet. Das folgern wir aus der folgenden Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel:

Satz 3.15: f: U → ℂ sei eine holomorphe Funktion und Γ sei ein nullhomologer Zyklus mit |Γ| ⊂ U. Dann ist für jeden Punkt z_{0} ∈ U ∖ |Γ|

n(Γ, z_{0})f(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(z)}{z − z_{0}} dz

und

n(Γ, z_{0})f^{(k)}(z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{k+1}} dz.

Beweis, daß Satz 3.15 ⇒ Satz 3.14: Wenn Γ und Γ′ homolog sind, ist Γ − Γ′ nullhomolog und

∫_{Γ} f(z) dz − ∫_{Γ′} f(z) dz = ∫_{Γ−Γ′} f(z) dz.

Daher genügt es zu zeigen, daß das Integral jeder in U holomorphen Funktion über den nullhomologen Zyklus Γ − Γ′ verschwindet. Mit f ist aber auch F (z) = (z−z_{0})f(z) in U holomorph, und nach Satz 3.15 ist

\begin{aligned}0 & = F (z_{0}) = n(Γ − Γ′, z_{0})F (z_{0}) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ−Γ′} \frac{F (z)}{z − z_{0}} dz \\ & = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ−Γ′} f(z) dz. \end{aligned}

Beweis von Satz 3.15: Nach Lemma 3.13 ist

n(Γ, z_{0})f(z_{0}) = \frac{f(z_{0})}{2πi} ∫_{Γ} \frac{dz}{z − z_{0}} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{f(z_{0})}{z − z_{0}} dz

wir müssen also zeigen, daß

h(z_{0}) =_{def} ∫_{Γ} \frac{f(z) − f(z_{0})}{z − z_{0}}dz

für alle z_{0} ∈ U ∖ |Γ| verschwindet. Nach Lemma 3.2 folgt dies beispielsweise dann, wenn wir wissen, daß sich h fortsetzen läßt zu einer auf ganz ℂ̂ holomorphen Funktion mit h(∞) = 0, denn da h nach Lemma 3.2 konstant sein muß, verschwindet es dann insbesondere auch in z_{0}.

Zum Nachweis der Holomorphie von h auf U betrachten wir, ähnlich wie bei der Herleitung der Cauchyschen Integralformel, die Funktion

g(z, w) = \{ \begin{matrix}\frac{f(z) − f(w)}{z − w} & für z ≠ w \\ f′(z) & für z = w \end{matrix}

auf U ×U. In der Umgebung eines jeden Punktes (z_{0}, w_{0}) ∈ U ×U mit z_{0} ≠ w_{0} ist g trivialerweise stetig. Für einen Punkt der Form (z_{0}, z_{0}) ∈ U × U betrachten wir eine Folge (z_{n}, w_{n}) in U × U, die gegen (z_{0}, z_{0}) konvergiert, und müssen zeigen, daß die Folge der Zahlen g(z_{n}, w_{n}) gegen f′(z_{0}) konvergiert. Dazu betrachten wir getrennt die beiden Teilfolgen aus allen (z_{n}, w_{n}) mit z_{n} = w_{n} und mit z_{n} ≠ w_{n}, also o.B.d.A. die beiden Fälle

1. Fall: z_{n} = w_{n} für alle n. Dann ist g(z_{n}, z_{n}) = f′(z_{n}), und diese Folge konvergiert wegen der Stetigkeit (sogar Holomorphie) von f′ gegen f′(z_{0}) = g(z_{0}, z_{0}).

2. Fall: z_{n} ≠ w_{n} für alle n. Ist dann ℓ_{n} die Verbindungsstrecke von z_{n} nach w_{n}, so ist für jedes n

|g(z_{n}, w_{n}) − g(z_{0}, z_{0})|

= |\frac{f(z_{n}) − f(w_{n})}{z_{n} − w_{n}} − f′(z_{0})| = \frac{1}{|z_{n} − w_{n}|} | ∫_{ℓ_{n}} f′(ζ) dζ − f′(z_{0})|

≤ \frac{1}{|z_{n} − w_{n}|} ∫_{ℓ_{n}} |f′(ζ) − f′(z_{0})| dζ ≤ sup_{ζ∈ℓ_{n}} |f′(ζ) − f′(z_{0})|,

da der Integrationsweg ℓ_{n} gerade die Länge |z_{n} − w_{n}| hat. Wegen der Stetigkeit von f′ gibt es aber zu jedem ε > 0 ein δ > 0, so daß |f′(ζ) − f′(z_{0})| < ε sobald |ζ − z_{0}| < δ ist. Zu diesem δ, und damit zu ε, gibt es dann wegen der Konvergenz der (z_{n}, w_{n}) gegen (z_{0}, z_{0}) ein N_{0}(ε), so daß für n > N_{0}(ε) sowohl z_{n} als auch w_{n} in der δ-Umgebung von (z_{0}, z_{0}) liegen, und damit liegt dort auch die ganze Strecke ℓ_{n}. Zu jedem ε > 0 gibt es daher ein N_{0}(ε), so daß

|g(z_{n}, w_{n}) − g(z_{0}, z_{0})| < ε für alle n > N_{0}(ε) ,

die Folge der g(z_{n}, w_{n}) konvergiert also gegen f′(z_{0}).

Damit haben wir die Stetigkeit von g(w, z) in U × U nachgewiesen, und daraus folgt unmittelbar die Stetigkeit von

h(w) = ∫_{Γ} g(z, w) dz

auf U. Nach Satz 2.12 c), angewandt auf die Zusammenhangskomponenten von U, ist h sogar holomorph in U, wenn für jedes Dreieck △, dessen Abschluß ganz in U liegt, ∫_{∂△} h(w) dw verschwindet. Dieses Verschwinden folgt aber sofort aus dem Satz von Fubbini, denn

∫_{∂△} h(w) dw = ∫_{∂△} (∫_{Γ} g(z, w) dz) dw = ∫_{Γ} ( ∫_{∂△} g(z, w) dw) dz

verschwindet, da g(z, w) für jedes feste z ∈ U eine holomorphe Funktion von w ist (auch für w = z nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz), so daß das innere Integral nach dem Cauchyschen Integralsatz verschwindet.

Um h zu einer auf ganz ℂ holomorphen Funktion zu machen, müssen wir die Voraussetzung der Nullhomologie von Γ ins Spiel bringen. Diese bedeutet nach Lemma 3.13, daß die Umlaufzahl bezüglich eines jeden Punkts von ℂ ∖ U verschwindet, ℂ ist also die Vereinigung von U mit der Menge

U_{0} = {z ∈ ℂ | n(Γ, z) = 0}.

Wegen der Stetigkeit von der Umlaufzahl ist U_{0} eine Vereinigung von Zusammenhangskomponenten von ℂ ∖ |Γ|.

Für w ∈ U ∩ U_{0} ist

h(w) = ∫_{Γ} \frac{f(z) − f(w)}{z − w} dz = ∫_{Γ} \frac{f(z)}{z − w} dz,

denn

∫_{Γ} \frac{f(w)}{z − w} dz = f(w) ∫_{Γ} \frac{dz}{z − w} = −n(Γ, z) = 0 .

Daher können wir h zu einer auf ganz ℂ holomorphen Funktion fortsetzen, wenn wir definieren

h(w) =_{def} ∫_{Γ} \frac{f(z)}{z − w} dz für alle w ∈ ℂ ∖ U ,

denn dieses Integral ist auf ganz U_{0} eine holomorphe Funktion von w und stimmt auf U ∩ U_{0} mit dem bisherigen h überein.

Um h schließlich auf ganz ℂ̂ fortzusetzen, müssen wir nur zeigen, daß ein Grenzwert für z → ∞ existiert; wie bereits angekündigt, wollen wir sogar zeigen, daß dieser Grenzwert verschwindet, was dann den Satz beweist.

Da U_{0} eine Umgebung von ∞ ist, reicht es natürlich, den Grenzwert für eine Folge von Zahlen aus U_{0} zu betrachten. Dort definieren wir die Funktion

δ: U_{0} → ℝ; w ↦ min_{z∈|Γ|} |z − w|,

die den Abstand zwischen w und Γ angibt. Da |Γ| kompakt, also beschränkt ist, geht δ(w) gegen ∞ für w → ∞. Mit L = Länge von Γ ist aber auf U_{0}

|h(w)| = | ∫_{Γ} \frac{f(z)}{z − w} dz| ≤ \frac{L}{δ(w)} max_{z∈Γ} |f(z)| = \frac{C}{δ(w)}

mit einer von w unabhängigen Konstanten C. Also ist lim_{w→∞}h(w) = 0, und damit ist der Satz bewiesen.

Nützlich ist dieser Satz natürlich erst dann, wenn wir leicht nachprüfbare Kriterien dafür haben, wann ein Zyklus nullhomolog ist. Damit wird sich fast der gesamte Rest dieses Paragraphen beschäftigen; zuvor möchte ich aber noch kurz den Residuensatz für nullhomologe Zykeln beweisen:

Satz 3.16: Die Funktion f: U → ℂ̂ sei meromorph auf U ⊂ ℂ, und Γ sei ein bezüglich U nullhomologer Zyklus, so daß f keine Pole auf |Γ| habe. Dann ist

∫_{Γ} f(z) dz = 2πi ∑_{z∈U} n(Γ, z) Res_{z} f .

Beweis: Zunächst müssen wir zeigen, daß die Summe auf der rechten Seite endlich ist. Nach Lemma 3.13 ist

n(Γ, z) = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{dζ}{ζ − z} dζ ≤ \frac{L}{2π} max_{ζ∈|Γ|} \frac{1}{|ζ − z|} ,

wobei L die Länge von Γ bezeichnet. Für hinreichend große z ist die rechte Seite – wegen der Beschränktheit von Γ – kleiner als eins, also ist n(Γ, z) = 0 für |z| > R mit einer geeigneten Schranke R. Somit kann ein z ∈ U höchstens dann einen Beitrag zur rechten Seite liefern, wenn

z ∈ D = {z ∈ ℂ | |z| ≤ R}.

Angenommen, es gäbe unendlich viele z ∈ U, für die n(Γ, z) Res_{z} f von Null verschieden ist. Dann hätten diese in der kompakten Menge D einen Häufungspunkt z_{0}. Dieser wäre gleichzeitig ein Häufungspunkt der Menge der Pole von f, da nur dort ein nichtverschwindendes Residuum auftreten kann; nach Definition einer meromorphen Funktion könnte z_{0} also nicht in U liegen. Da Γ nullhomolog ist, wäre dann aber nach Satz 3.14 n(Γ, z_{0}) = 0, und wegen der Stetigkeit der Umlaufzahl (Korollar zu Lemma 3.13) müßte n(Γ, z) dann auch in einer Umgebung von z_{0} verschwinden, was für einen Häufungspunkt von Punkten mit nichtverschwindender Umlaufzahl absurd ist.

Also ist der Satz sinnvoll formuliert, und der Rest des Beweises geht fast wie beim gewöhnlichen Residuensatz:

z_{1}, …, z_{r} seien die endlich vielen Punkte in U, für die n(Γ, z_{j}) Res_{z_{j}} f nicht verschwindet, und M sei die Menge der restlichen Pole von f. Weiter sei H_{j} der Hauptteil von f in z_{j} und g = f − ∑_{j=1}^{r} H_{j}. Dann ist g holomorph in U ∖M, und da n(Γ, z) = 0 für alle z ∈ M, folgt aus Satz 3.14, daß Γ nicht nur in U, sondern auch in U ∖ M nullhomolog ist, das Integral ∫_{Γ} g(z) dz verschwindet also. Damit ist

∫_{Γ} f(z) dz = ∑_{j=1}^{r} ∫_{Γ} H_{j}(z) dz,

und da alle Summanden des Hauptteils außer dem mit (z −z_{j})^{−1} eine Stammfunktion in ℂ haben, folgt die Behauptung aus Lemma 3.13.

Da für eine meromorphe Funktion f

Res_{z_{0}} \frac{f′}{f} = ord_{z_{0}} f

ist, folgt sofort eine Verallgemeinerung von Satz 3.8, das sogenannte Argumentprinzip

Satz 3.17: Die Funktion f: U → ℂ̂ sei meromorph auf U ⊂ ℂ, und Γ sei ein bezüglich U nullhomologer Zyklus, so daß f keine Pole oder Nullstellen auf |Γ| habe. Dann ist

∫_{Γ} \frac{f′(z)}{f(z)} dz = 2πi ∑_{z∈U} n(Γ, z) ord_{z} f .

Unter dem Argument einer komplexen Zahl versteht man den Winkel, den der zugehörige Vektor mit der positiven reellen Achse einschließt; für dessen Rolle beim Argumentprinzip siehe Aufgabe 1 auf dem achten Übungsblatt.

Im Rest dieses Paragraphen wollen wir die Gebiete untersuchen, in denen jeder Zyklus nullhomolog ist, in denen wir also beispielsweise den Cauchyschen Integralsatz genauso einfach formulieren können wie für konvexe Gebiete. Wie in diesem Paragraphen üblich, gehen wir dabei wieder rückwärts vor und geben diesen Gebieten zunächst einen Namen:

Definition: Ein Gebiet G heißt einfach zusammenhängend, wenn jeder Zyklus Γ mit |Γ| ⊂ G in G nullhomolog ist.

Man beachte, daß diese Definition nur für Gebiete gilt; wir wollen keine einfach zusammenhängenden offenen Mengen, die nicht einmal zusammenhängend sind.

Als erstes Beispiel zeigt uns der Cauchysche Integralsatz, daß jedes konvexe Gebiet einfach zusammenhängend ist, und Lemma 2.7 zeigt uns, daß eine Kreisscheibe ohne Mittelpunkt nicht einfach zusammenhängend ist. Solche ”Löcher“ wie der fehlende Mittelpunkt einer Kreisscheibe sind, wie wir gleich sehen werden, die einzigen Obstruktionen gegen den einfachen Zusammenhang eines Gebiets. Um den Begriff des ”Lochs“ präzise zu machen, definieren wir zunächst

Definition: Eine Zusammenhangskomponente von M ⊂ ℂ ist eine maximale zusammenhängende Teilmenge von M ≠ ∅.

Für ein Gebiet G ⊂ ℂ, das anschaulich betrachtet ein ”Loch“ hat, ist dieses Loch sicherlich eine Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ G; da G offen ist, also ℂ ∖ G abgeschlossen, ist diese Komponente ebenfalls abgeschlossen (denn ihr Abschluss ist immer noch zusammenhängend), und da wir uns unter einem Loch etwas beschränktes vorstellen, ist sie auch beschränkt, also kompakt. Die Aussage, daß ein Gebiet genau dann einfach zusammenhängend ist, wenn es keine Löcher hat, läßt sich also präzise fassen als

Satz 3.18: Ein Gebiet G ⊂ ℂ ist genau dann einfach zusammenhängend, wenn ℂ ∖ G keine kompakte Zusammenhangskomponente mit abgeschlossenem Komplement hat.

Beweis: Zu jedem Zyklus Γ gibt es eine kompakte Kreisscheibe D die |Γ| enthält, und für z_{0} ≠ D ist n(Γ, z_{0}) = 0. Ist also G nicht einfach zusammenhängend, so daß es einen Zyklus Γ gibt, der nicht nullhomolog ist, so gibt es erstens nach Satz 3.14 zusammen mit dem Korollar zu Lemma 3.13 eine Zusammenhangskomponente von ℂ∖G, auf der n(Γ, z_{0}) ≠ 0 ist, und zweitens muß diese Komponente in D liegen, ist also beschränkt und damit kompakt.

Hat umgekehrt ℂ∖G eine kompakte Zusammenhangskomponente A, so erwarten wir, daß es einen Zyklus Γ in G gibt, so daß |Γ| um A herumläuft; genau ein solches Γ soll nun konstruiert werden.

Falls A die einzige Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ G ist, also ℂ ∖ G = A, können wir für Γ einfach den Rand einer Kreisscheibe nehmen, die A ganz enthält; für jeden Punkt a ∈ A ist dann (mit der üblichen Orientierung von Γ im Gegenuhrzeigersinn) n(Γ, a) = 1, also ist Γ nicht nullhomolog und G nicht einfach zusammenhängend.

Falls ℂ ∖ G noch weitere Komponenten hat, sei

δ = min{|z − w| | z ∈ ℂ ∖ (G ∪ A), w ∈ A}

der Abstand zwischen A und den restlichen Komponenten; dieses Minumum existiert, da A kompakt ist und es natürlich ausreicht, wenn wir nur solche z ∈ ℂ ∖ (G ∪ A) betrachten, die in einer festen Kreisscheibe liegen, die A und mindestens einen weiteren Punkt von ℂ∖G enthält; die Menge dieser z ist ebenfalls kompakt. Wir wählen einen festen Punkt a ∈ A und überziehen ganz ℂ mit einem Quadratgitter der Maschenweite δ/2, für das a ein innerer Punkt eines Quadrats in diesem Gitter ist. Mit ”Quadrat“ soll dabei hier und im folgenden immer ein abgeschlossenes Quadrat gemeint sein.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  .a ↑↓ ⟷

Für jedes Quadrat q bezeichnen wir mit ∂q den im Gegenuhrzeigersinn orientierten Rand von q, aufgefaßt als Summe von vier Integrationswegen, den Seiten. Wir betrachten die Menge Q aller Quadrate q mit q ∩ A ≠ ∅ und definieren

Γ =_{def} ∑_{q∈Q} ∂q.

Dieser Zyklus hat folgende Eigenschaften:

• Γ ist als Summe von Zykeln ∂q selbst ein Zyklus.

• |Γ|∩A = ∅, denn jede Seite eines Quadrats q_{1}, die einen Punkt mit A gemeinsam hat, ist gleichzeitig Seite eines Nachbarquadrats q_{2}, das damit ebenfalls in Q liegt, und sie wird in ∂q_{1} und ∂q_{2} entgegengesetzt orientiert (siehe Pfeile in der obigen Abbildung), so daß sie sich in ∂q_{1} + ∂q_{2} und somit auch in Γ weghebt.

• |Γ| ⊂ G, denn wir wissen schon, daß |Γ| mit A leeren Durchschnitt hat, und jede andere Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ G hat mindestens den Abstand δ von A, es kann also kein Quadrat mit Kantenlänge δ/2 geben, das sowohl mit A als auch mit einer anderen Komponente von ℂ ∖ G Punkte gemeinsam hat.

• n(Γ, a) = 1, denn es gibt genau ein Quadrat q_{0} ∈ Q, das a enthält und für das somit n(∂q_{0}, a) = 1 ist; für jedes andere Quadrat q ist n(∂q, a) = 0, da es eine Gerade ℓ durch a gibt, so daß ganz q auf einer Seite von ℓ liegt. Also ist

n(Γ, a) = ∑ n(∂q, a) = n(∂q_{0}, a) = 1 .

Damit haben wir einen Zyklus Γ gefunden mit |Γ| ⊂ G, der nicht nullhomolog in G ist, G ist also nicht einfach zusammenhängend.

Anhang: Der Jordansche Kurvensatz

In diesem Anhang soll einerseits die in §3 entwickelte Funktionentheorie auf die Topologie der Ebene angewandt werden, andererseits soll aber auch diese Topologie angewandt werden, um zu einer geometrischeren Version des Cauchyschen Integralsatzes zu kommen. Das zentrale Thema dabei ist der Jordansche Kurvensatz, wonach das Komplement einer Jordankurve in der Ebenen genau zwei Zusammenhangskomponenten hat. Eine Jordankurve ist dabei einfach eine geschlossene doppelpunktfreie Kurve, formal also

Definition: Eine Jordankurve ist eine auf [a, b) injektive stetige Abbildung γ: [a, b] → ℂ mit γ(a) = γ(b).

Wie auch bei Integrationswegen bezeichnen wir mit |γ| das Bild von γ. Für dieses gilt

Jordanscher Kurvensatz: Für jede Jordankurve γ hat ℂ∖|γ| genau zwei Zusammenhangskomponenten Z_{1} und Z_{2}. Eine davon ist unbeschränkt, die andere beschränkt, und |γ| ist der gemeinsame Rand von beiden.

Genauer kann man noch zeigen

Satz von Schönfließ: Die beschränkte Komponente Z von ℂ∖|γ| ist homöomorph zur offenen Einheitskreisscheibe D, d.h. es gibt stetige Abbildungen φ: Z → D und ψ: D → Z, so daß φ ∘ ψ = id_{D} und ψ ∘ φ = id_{Z} ist.

Beide Sätze verlangen in dieser Allgemeinheit ziemlich umfangreiche Beweise; man denke nur daran, daß eine Jordankurve durchaus auch eine fraktale Kurve mit Hausdorff-Dimension zwei sein kann! Außerdem ist – so sehr das auch der Anschauung widersprechen mag – das dreidimensionale Analogon des Satzes von Schönfließ falsch – ein Hinweis darauf, daß der Satz auch im Zweidimensionalen nicht ganz trivial ist. Verhältnismäßig elementare Beweise beider Sätze, die auch ohne größere Topologiekenntnisse lesbar sind, findet man etwa bei

E. Moise: Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Springer, Graduate texts 47, 1977.

J. Dieudonné: Grundzüge der modernen Analysis, Vieweg, 1971

gibt in Kapitel 9’ einen funktionentheoretischen Beweis des Jordanschen Kurvensatzes.

Hier soll uns der erheblich einfacher zu beweisende Fall genügen, daß γ gleichzeitig Integrationsweg, also stückweise stetig differenzierbar ist, und auch dafür betrachten wir nur den Jordanschen Kurvensatz, der dann besagt

Satz: Der Integrationsweg γ: [a, b] → ℂ sei eine Jordankurve. Dann hat ℂ ∖ |γ| genau zwei Zusammenhangskomponenten Z_{1} und Z_{2}. Eine davon ist unbeschränkt, die andere beschränkt, und |γ| ist der gemeinsame Rand von beiden.

Beweis: Wir zeigen zunächst, daß ℂ∖|γ| mindestens zwei Zusammenhangskomponenten hat, dann daß es höchstens zwei Zusammenhangskomponenten geben kann und daß |γ| Rand einer jeden Komponenten ist.

1. Teil: Es gibt mindestens zwei Zusammenhangskomponenten

Dazu verwenden wir die Stetigkeit der Umlaufzahl: Wir wissen, daß ℂ ∖ |γ| eine unbeschränkte Zusammenhangskomponente hat, auf der n(γ, z) verschwindet. Falls es auch einen Punkt z′ ∈ ℂ ∖ |γ| gibt, für den n(γ, z′) ≠ 0 ist, muß es auch mindestens eine weitere Zusammenhangskomponente geben.

1. Schritt – Wahl einiger spezieller Punkte: Da |γ| kompakt ist, gibt es zwei reelle Intervalle [a_{1}, a_{2}] und [b_{1}, b_{2}], so daß x genau dann Realteil eines Punkts γ(t) ist, wenn a_{1} ≤ x ≤ a_{2} ist und y genau dann Imaginärteil eines Punkts γ(t) ist, wenn b_{1} ≤ y ≤ b_{2} ist. Da γ eine geschlossene Jordankurve ist, müssen beide Intervalle mehr als einen Punkt enthalten. Für eine reelle Zahl a < a_{1} und einen inneren Punkt b von [b_{1}, b_{2}] sei nun w_{0} = a + ib; außerdem seien Punkte w_{1} und w_{2} auf |γ| so gewählt, daß b_{1} < Im w_{1} < b < Im w_{2} < b_{2} ist und daß die Strecken w_{0}w_{1} und w_{0}w_{2} beide keinen weiteren Punkt von |γ| enthalten.

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• w_{0}  a_{1}  a_{2} b_{1} b b_{2}  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w_{1} • z_{1}  • z_{2} γ_{2} γ_{1}

w_{1} und w_{2} zerlegen γ (nach geeigneter Umparametrisierung) in zwei Kurvenstücke γ_{1} und γ_{2}, die beide von w_{1} nach w_{2} laufen und von denen eines in der gleichen Richtung wie γ und das andere in entgegengesetzter Richtung orientiert ist. Wir wählen die Numerierung so, daß derjenige Punkt z_{2} ∈ |γ| mit Imaginärteil b, der den größten Realteil hat, auf |γ_{2}| liegt; indem wir γ nötigenfalls durch −γ ersetzen, können wir o.B.d.A. annehmen, daß γ = γ_{2} − γ_{1} ist. Analog sei z_{2} derjenige Punkt z_{2} ∈ |γ| mit Imaginärteil b, der den kleinsten Realteil hat. Weiter sei σ_{j} für j = 1, 2 der Integrationsweg bestehend aus der Strecke w_{0}w_{1}, dem Integrationsweg γ_{j}, und der Strecke w_{2}w_{0}; dann ist auch σ_{2} − σ_{1} = γ.

2. Schritt – Für alle z ∈ |γ_{2}| ∖ {w_{1}, w_{2}} ist n(σ_{1}, z) = 0: Nach Konstruktion schneiden sich |γ_{2}| und |σ_{1}| nur in w_{1} und w_{2}; daher liegen alle z ∈ |γ_{2}| ∖ {w_{1}, w_{2}} in der gleichen Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |σ_{1}|, und es genügt, die Behauptung für einen dieser Punkte zu beweisen, etwa für z_{2}. Dieser Punkt liegt aber in der gleichen Zusammenhangskomponente wie die Punkte α + ib mit α > a_{2}, und für diese hat σ_{1} nach Definition Umlaufzahl Null.

3. Schritt – Für alle z ∈ |γ_{1}| ∖ {w_{1}, w_{2}} ist n(σ_{2}, z) = 1: Auch |γ_{1}| und |σ_{2}| schneiden sich nur in w_{1} und w_{2}, also genügt es auch hier wieder, die Behauptung für einen geeigneten dieser Punkte zu beweisen. Betrachten wir den Punkt z_{1}. Falls er nicht in |γ_{1}| läge, wäre nach dem vorigen Schritt n(σ_{1}, z_{1}) = 0; andererseits läge z_{1} in derselben Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |σ_{1}| wie alle Punkte z = α + ib mit a < α < Re z_{1}. Für α < a_{1} folgt aber sofort aus der Definition der Umlaufzahl, daß n(σ_{1}, z) = n(σ_{2}, z) = 1 ist (betrachte die Parallele zur imaginären Achse durch z), ein Widerspruch. Also liegt z_{1} und damit ganz |γ_{1}| in der gleichen Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |σ_{2}| wie die gerade betrachteten Punkte z, d.h. n(σ_{2}, z_{1}) = 1.

4. Schritt – Es gibt einen Punkt z′ ∈ ℂ ∖ |γ| mit n(γ, z′) ≠ 0: Analog zur Wahl von z_{1} und z_{2} wählen wir zwei Punkte z_{3} und z_{4} mit folgenden Eigenschaften: Unter allen Punkten auf |γ_{1}| mit Imaginärteil b ist z_{3} derjenige mit dem größten Realteil, und unter allen Punkten auf |γ_{2}| mit Imaginärteil b und Realteil größer Re z_{3} ist z_{4} derjenige mit dem kleinsten Realteil. Für einen inneren Punkt z′ der Verbindungsstrecke zwischen z_{3} und z_{4} ist dann zunächst nach der Konstruktion im ersten Schritt

n(γ, z′) = n(σ_{2}, z′) − n(σ_{1}, z′) .

Außerdem liegt z′ in der gleichen Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |σ_{1}| wie z_{4}, da die Strecke von z′ nach z_{4} keinen Punkt mit |γ_{1}| gemeinsam hat und somit ganz in ℂ∖|σ_{1}| verläuft; genauso folgt, daß z′ in der gleichen Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |σ_{2}| wie z_{3} liegt; also ist nach dem zweiten und dritten Schritt

n(γ, z′) = n(σ_{2}, z_{3}) − n(σ_{1}, z_{4}) = 1 − 0 = 0 .

Damit ist der erste Teil bewiesen. Man kann sich übrigens leicht überlegen, daß dieser erste Teil des Beweises fast genauso auch für für beliebige Jordankurven funktioniert; siehe dazu Aufgabe 3 auf dem 9. Übungsblatt.

2. Teil: |γ| ist gemeinsamer Rand der höchsten zwei Zusammenhangskomponenten

Der wesentliche Teil des Beweises besteht darin zu zeigen, daß |γ| der Rand einer jeden Zusammenhangskomponente ist und daß es lokal nur zwei Zusammenhangskomponenten gibt.

1. Schritt – Für jede Zusammenhangskomponente Z von ℂ ∖ |γ| ist ∂Z ⊂ |γ|: Klar, denn wäre z_{0} ∈ ∂Z kein Punkt von |γ|, so läge eine ganze Umgebung von z_{0} in ℂ ∖ |γ|, im Widerspruch dazu, daß z_{0} Randpunkt einer Zusammenhangskomponenten dieser Menge sein soll.

2. Schritt – Jeder Punkt z_{0} ∈ |γ| hat eine Umgebung U, für die U ∖ |γ| genau zwei Zusammenhangskomponenten U_{1} und U_{2} hat; deren gemeinsamer Rand ist |γ|: Sei z_{0} = γ(t_{0}). Dann gibt es ein abgeschlossenes Intervall [t_{1}, t_{2}], das t_{0} als inneren Punkt enthält, so daß |γ(t)−γ(t_{0})| zu beiden Seiten von t_{0} monoton ansteigt mit |t−t_{0}|. Durch eventuelle Verkleinerung des Intervalls [t_{1}, t_{2}] läßt sich erreichen, daß |γ(t_{1})−γ(t_{0})| = |γ(t_{2})−γ(t_{0})| ist, d.h. der Bogen γ([t_{1}, t_{2}]) durchquert eine gewisse Kreisscheibe \overline{D} um z_{0} gerade einmal von Rand zu Rand. Nach dem üblichen Kompaktheitsschluß gibt es dazu ein δ > 0, so daß jedes γ(t) mit t ∉ (t_{1}, t_{2}) mindestens den Abstand δ von z_{0} hat; falls δ kleiner ist als der Radius von D, ersetzen wir D durch die Kreisscheibe um z_{0} mit Radius δ. Damit schneidet D nun nur noch den betrachteten Bogen von γ, denn wegen obiger Monotonieeigenschaft auf [t_{1}, t_{2}] kann der Teilbogen zu diesem Intervall nicht in die verkleinerte Kreisscheibe zurückkommen. Sei (t_{3}, t_{4}) = γ^{−1}(D) das Parameterintervall zur neuen Kreisscheibe.

Für das weitere betrachten wir zunächst den Fall, daß γ in t_{0} differenzierbar ist mit γ′(t_{0}) ≠ 0. Dann sei etwa Re γ′(t_{0}) ≠ 0; andernfalls können wir die folgenden Argumente genau für den Imaginärteil anwenden. Die Abbildung t ↦ Re γ(t) ist dann differenzierbar in einer Umgebung von t_{0} und ihre Ableitung in t_{0} verschwindet nicht; nach dem Satz über die Umkehrfunktion gibt es also ein offenes Intervall I, das Re γ(t_{0}) enthält, auf dem Re γ eine Umkehrfunktion h hat. Auf dem Streifen der komplexen Ebene, auf dem der Realteil in I liegt, definieren wir die Funktion φ(z) = h(Re z) + i Im z − i Im γ(h(z)). Für t ∈ h(I) ist dann φ(γ(t)) = t, und φ ist in einer Umgebung von γ(t_{0}) eine bijektive stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung. Verkleinert man die Kreisscheibe noch einmal, so daß sie in dieser Umgebung liegt, so wird sie abgebildet auf eine offene Menge U und |γ|∩D wir auf eine Strecke auf der reellen Achse abgebildet, zerlegt U also in zwei Teile, deren gemeinsamer Rand sie ist.

Der Fall, daß γ in t_{0} differenzierbar ist, aber Ableitung Null hat, kann natürlich vorkommen: Beispielsweise könnte γ in einem ganzen Teilintervall konstant sein, oder eine Gerade könnte parametrisiert sein durch die Funktion γ(t) = at^{3} für ein geeignetes a ∈ ℂ ∖ {0}. In beiden Fällen ist klar, daß man die gleiche geometrische Kurve |γ| auch so parametrisieren kann, daß die Ableitung für die betreffenden Kurvenpunkte nicht verschwindet, und das gilt auch allgemein: Die

Bogenlänge s(t) = ∫_{0}^{t} |γ′(t)| dt ist eine differenzierbare und schwach

monotone Funktion auf dem Definitionsintervall von γ. Indem man alle Teilintervalle, auf denen s (und damit γ) konstant ist zu Punkten zusammenzieht, erhält man eine neue Funktion γ^{∗} mit |γ^{∗}| = |γ|, so daß s(t) zu einer monotonen Funktion wird, wenn man von γ^{∗} ausgeht statt von γ. Diese monotone Funktion hat eine stückweise differenzierbare Umkehrfunktion, so daß |γ| auch durch die Bogenlänge s stetig und stückweise differenzierbar parametrisiert werden kann. In dieser Parametrisierung s ↦ γ̃(s) ist aber stets γ′(s) ≠ 0, denn wenn x und y Real- und Imaginärteil von γ̃ bezeichnen, ist ds^{2} = dx^{2} + dy^{2}. Also können wir o.B.d.A. annehmen, daß γ′(t) ≠ 0 wo immer die Ableitung existiert.

Falls schließlich γ in t_{0} nicht differenzierbar ist, so existieren doch der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Ableitung. Falls die beiden nicht entgegengesetzt gleich sind, lassen sich in einer gewissen Kreisscheibe um z_{0} die Sektoren zwischen den Halbtangenten der beiden Zweige von γ so mit Funktionen der Art z_{0} + re^{iφ} ↦ z_{0} + re^{iaφ} fächerförmig stauchen bzw. dehnen, daß die beiden Halbtangenten zusammen eine Gerade ergeben; durch einen Homöomorphismus einer Kreisscheibe um z_{0} läßt sich dieser Fall also auf den eines in t_{0} differenzierbaren γ zurückführen. Auch wenn die beiden Ableitungen entgegengesetzt gleich sind, kann man so verfahren, nur muß man jetzt Funktionen der Art z_{0} + re^{iφ} ↦ z_{0} + re^{iaφ/r} für r ≠ 0 und z_{0} ↦ z_{0} verwenden.

3. Schritt – Für jede Zusammenhangskomponente Z von ℂ ∖ |γ| ist |γ| = ∂Z: Dazu genügt es zu zeigen, daß ∂Z relativ offen in |γ| ist, daß es also zu jedem Punkt z_{0} ∈ ∂Z eine Umgebung U gibt, so daß auch U ∩ |γ| in ∂Z liegt. Da ∂Z abgeschlossen ist und |γ| zusammenhängend, impliziert dies die Behauptung. Sei also z_{0} ∈ ∂Z gegeben, und sei U die Umgebung aus dem vorigen Schritt. Eine der beiden Komponenten U_{1} und U_{2} muß nichtleeren Durchschnitt mit Z haben; o.B.d.A. sei das U_{1}. Dann liegt U_{1} ganz in Z, da U_{1} zusammenhängend ist und |γ| nicht trifft; also ist

U ∩ |γ| ⊂ ∂U_{1} ∖ Z ⊂ ∂Z ,

wie behauptet.

4. Schritt – ℂ∖|γ| hat höchstens zwei Zusammenhangskomponenten: Nach dem vorigen Schritt hat jede Komponente Z den Rand |γ|. Für z_{0} ∈ γ wähle man eine Umgebung U wie im zweiten Schritt; genau wie im dritten Schritt muß dann jedes Z eine der lokalen Komponenten U_{1} und U_{2} enthalten, es gibt also höchstens zwei Komponenten.

Definition: Ist der Integrationsweg γ eine Jordankurve, so bezeichnen wir die beschränkte Zusammenhangskomponente von ℂ ∖ |γ| als Innengebiet von γ und die unbeschränkte als Außengebiet.

Bemerkungen zum Beweis: 1.) Wie wir im vierten Schritt des ersten Beweisteils ausgerechnet haben, ist im Innengebiet von γ die Umlaufzahl n(γ, z) = ±1; die dortige Rechnung ergab zwar +1, aber da wir im ersten Schritt möglicherweise die Orientierung von γ verändert haben, kann dies für die ursprüngliche Orientierung auch −1 bedeuten. Gelegentlich nennt man ein Gebiet positiv berandet, falls die Umlaufzahl der Randkurve positiv ist, und negativ berandet, falls sie negativ ist. Für das Außengebiet ist die Umlaufzahl natürlich gleich Null. 2.) Der erste Beweisteil funktioniert tatsächlich nicht nur für Integrationswege, sondern für beliebige Jordankurven: In der Definition der Umlaufzahl haben wir nirgends auf die stückweise Differenzierbarkeit von γ Bezug genommen, so daß wir auch bei beliebigen Jordankurven von Umlaufzahlen sprechen können, und ansonsten haben wir im ersten Beweisteil nur noch benutzt, daß die Umlaufzahl stetig vom umlaufenen Punkt abhängt. Dies wurde im Korollar zu Lemma 3.13 bewiesen, und Lemma 3.13 ließe sich für eine Kurve γ, die kein Integrationsweg ist, nicht einmal formulieren. Wir können aber das Parameterintervall [a, b] von γ so in Teilintervalle [a_{j−1}, a_{j}] unterteilen, daß γ([a_{j−1}, a_{j}]) ganz in einer Kreisscheibe liegt, die einen festen Punkt z_{0} ∈ ℂ ∖ |γ| und eine gewisse Umgebung davon nicht trifft, und wenn wir einen neuen Integrationsweg γ̃: [a, b] → ℂ dadurch definieren, daß γ̃ auf [a_{j−1}, a_{j}] die Verbindungsstrecke von γ(a_{j−1}) und γ(a_{j}) ist, haben γ und γ̃ in einer Umgebung von z_{0} gleiche Umlaufzahlen und γ̃ ist ein Integrationsweg. Also ist mit n(γ, z) auch n(γ̃, z) stetig in einer Umgebung von z_{0}, wir haben also bewiesen, daß ℂ∖|γ| für jede Jordankurve mindestens zwei Komponenten hat.

Als vorläufig letzte Version des Cauchyschen Integralsatzes können wir mit Hilfe des Jordanschen Kurvensatzes formulieren:

Satz: Der Integrationsweg γ: [a, b] → ℂ sei eine Jordankurve und die Funktion f sei in einer Umgebung von |γ| holomorph. Falls sich f fortsetzen läßt zu einer im Innengebiet von γ holomorphen Funktion, ist

∫_{γ} f(z) dz = 0 .

Beweis: f läßt sich fortsetzen zu einer Funktion, die in einem Gebiet G holomorph ist, das sowohl das Innengebiet von γ als auch eine Umgebung von γ enthält. Das Komplement von G liegt im Außengebiet von γ, und dort ist überall n(γ, z_{0}) = 0. Also ist γ nullhomolog in G, und der Satz folgt aus Satz 3.14.

Für Studenten, die einen der in der Topologie üblichen Homologiebegriffe kennen, folgt nun auch leicht, daß die hier definierte Homologie von Integrationswegen mit der dort definierten übereinstimmt: Dazu muß man sich nur überlegen, daß für einen im Sinne der Topologie im Gebiet G nullhomologen Zyklus das Integral über jede in G holomorphe Funktion verschwindet. Im Sinne der Topologie ist aber ein Zyklus genau dann nullhomolog, wenn er ein Rand ist, und das bedeutet, daß auch das Innengebiet jeder Jordan-Teilkurve des Zyklus in G liegt, also verschwindet das Integral.

§4: Einige spezielle Funktionen

In diesem Kapitel sollen einige wichtige spezielle Funktionen behandelt werden. Hauptthema ist die Eulersche Gammafunktion, die in vielen Anwendungen innerhalb wie außerhalb der Mathematik eine große Rolle spielt. Beginnen möchte ich aber zunächst mit einigen elementaren Funktionen:

Aus dem ersten Kapitel kennen wir bereits die Exponentialfunktion; nach Satz 1.4 bildet sie den Streifen {z ∈ ℂ | 0 ≤ Im z < 2π} bijektiv ab auf ℂ ∖ {0}, wobei die reelle Achse auf die positive reelle Achse abgebildet wird, und Punkte mit Imaginärteil nahe bei 2πi auf Punkte nahe der positiven reellen Achse; die Umkehrfunktion kann also auf der positiven reellen Achse nicht stetig sein.

Trotzdem ist natürlich möglich, einen Logarithmus zu definieren, der in der Umgebung der positiven reellen Achse stetig ist: Da e^{z+2πi} = e^{z} ist, bildet die Exponentialfunktion jeden Streifen

{z ∈ ℂ | α ≤ Im z < β} oder {z ∈ ℂ | α < Im z ≤ β}

mit reellen Zahlen α und β = α+2π bijektiv ab auf ℂ∖{0}, und auch die Einschränkungen auf diese Streifen haben Umkehrfunktionen, die überall stetig sind außer auf der Menge der Punkte re^{iα}.

Definition: Ein Halbstrahl ist eine Teilmenge von ℂ der Form

{z ∈ ℂ | z = re^{iα} mit r ≥ 0}

zu einem festen α ∈ ℝ.

Damit folgt sofort aus Satz 1.4:

Lemma 4.1: Auf jedem Gebiet G ⊂ ℂ, zu dem es einen Halbstrahl h gibt, so daß G ∩ h = ∅, gibt es stetige Funktionen L: G → ℂ, so daß e^{L(z)} = z für alle z ∈ G. Sind L_{1} und L_{2} zwei solche Funktionen, so unterscheiden sich L_{1}(z) und L_{2}(z) für jedes z ∈ G höchstens um ein Vielfaches von 2πi, und falls G = ℂ ∖ h das gesamte Komplement eines Halbstrahls ist, hängt dieses Vielfache nicht von z ab.

Definition: Eine Funktion L: G → ℂ auf einem Gebiet G, für die e^{L(z)} = z ist für alle z ∈ G, heißt ein Zweig des Logarithmus. Der Hauptwert des Logarithmus ist jede Funktion Log: ℂ ∖ {0} → ℂ, die jedem z ≠ 0 jenes w ∈ ℂ mit e^{w} = z zuordnet, für das −π < Im w ≤ π ist.

Damit existiert also insbesondere auf jedem Komplement eines Halbstrahls ein Zweig des Logarithmus; nach Aufgabe 1 des zehnten Übungsblatts sogar auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, das den Nullpunkt nicht enthält. Der Hauptwert des Logarithmus definiert einen Zweig auf dem Komplement der negativen reellen Achse; auf dieser Achse ist er nicht stetig. Wir werden in einem späteren Paragraphen sehen, wie man die verschiedenen Zweige des Logarithmus zu einem ganzen zusammenfügen kann.

Mit dem Logarithmus können wir, genauso wie in der reellen Analysis, beliebige Potenzen definieren:

Definition: L: G → ℂ sei ein Zweig des Logarithmus und a ∈ G. Dann heißt f: ℂ → ℂ; z ↦ e^{L(a)z} ein Zweig der Funktion z ↦ a^{z}.

Man beachte, daß man für verschiedene Zweige von L im allgemeinen verschiedene Funktionen f erhält; dies gilt selbst dann, wenn a = e ist, denn für fast alle z ∈ ℂ ist e^{2πiz} ≠ 0.

Das soll uns für die elementaren Funktionen vorläufig genügen; nächstes Ziel ist die Konstruktion von Funktionen aus ihren Nullstellen und Polen. Beginnen wir mit den Funktionen, die weder Nullstellen noch Pole haben:

Einige spezielle Funktionen 81

Lemma 4.2: Genau dann hat die holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ keine Nullstellen in ℂ, wenn es eine holomorphe Funktion g: ℂ → ℂ gibt, so daß f(z) = e^{g(z)} für alle z ∈ ℂ.

Beweis: Ist f(z) = e^{g(z)}, so hat f nach Satz 1.4 keine Nullstellen in ℂ. Hat umgekehrt f keine Nullstellen in ℂ, so ist die Idee natürlich, daß man für g den Logarithmus von f nimmt. Leider existiert aber auf ℂ∖{0} kein Zweig des Logarithmus, wir müssen also etwas umständlicher argumentieren:

Da f in ℂ keine Nullstellen hat, ist dort auch 1/f holomorph, also auch f′/f; um den Nullpunkt habe diese Funktion die Potenzreihenentwicklung

\frac{f′(z)}{f(z)} = ∑_{j=0}^{∞} a_{j}z^{j} .

Diese Reihe konvergiert nach Satz 2.11 in jeder Kreisscheibe um den Nullpunkt, deren Abschluß ganz in ℂ enthalten ist, also in jeder Kreisscheibe, und damit in ganz ℂ. In jedem Teilgebiet, in dem ein Zweig L des Logarithmus existiert, ist

\frac{f′(z)}{f(z)} = \frac{d L(f(z))}{dz} ,

also ist L(f(z)) eine Stammfunktion von f′(z)/f(z). Eine globale solche Stammfunktion kann durch gliedweise Integration der Potenzreihe gewonnen werden: Sei b_{0} irgendein Logarithmus von f(0) und

g(z) = b_{0} + ∑_{j=0}^{∞} \frac{c_{j}}{j + 1}z^{j+1} .

Auch diese Reihe konvergiert in ganz ℂ absolut, denn mit f′/f ist auch die Funktion z ↦ b_{0} + z · f′(z)/f(z) in ganz ℂ holomorph, und deren Potenzreihenentwicklung liefert eine konvergente Majorante für die Reihe der Absolutbeträge zu g. Es ist nun fast klar, daß f(z) = e^{g(z)} ist; beweisen läßt sich das am einfachsten dadurch, daß wir die Ableitung (f′ − fg′)e^{−g} von f/e^{g} betrachten: Diese verschwindet, da g eine Stammfunktion von f′/f ist, also ist f(z) = ce^{g(z)} mit einer Konstanten c ∈ ℂ. Für z = 0 ist g(z) = b_{0} und e^{b_{0}} = f(0), also ist c = 1 und das Lemma ist bewiesen.

Damit kennen wir auch die allgemeinste in ganz ℂ holomorphe Funktion mit Nullstellen z_{1}, …, z_{r} der Ordnungen n_{1}, …, n_{r}, nämlich

f(z) = ∏_{j=1}^{r}(z − z_{j})^{n_{j}} · e^{g(z)}

mit einer beliebigen auf ganz ℂ holomorphen Funktion g. Wenn f allerdings unendlich viele Nullstellen haben soll, können wir es nicht mehr so einfach konstruieren; in diesem Fall müssen wir mit unendlichen Produkten arbeiten und dafür sorgen, daß diese auch existieren.

Definition: (z_{j})_{j∈ℕ} sei eine Folge komplexer Zahlen. Wir sagen, daß das Produkt

∏_{j=0}^{∞} z_{j}

eigentlich konvergiert, wenn es ein r ∈ ℕ gibt, so daß z_{j} ≠ 0 für n > r, und wenn der Grenzwert

lim_{n→∞} ∏_{j=r+1}^{n} z_{j}

existiert und von Null verschieden ist. In diesem Fall setzen wir

∏_{j=0}^{∞} z_{j} = z_{1} ⋯ z_{r} · lim_{n→∞} ∏_{j=r+1}^{n} z_{j} .

Damit ist also beispielsweise das Produkt der natürlichen Zahlen einschließlich Null nicht konvergent, obwohl jedes Teilprodukt Null ist und damit die Folge der Teilprodukte konvergiert. Genauso ist auch das Produkt der Zahlen 2^{−j} nicht eigentlich konvergent, denn für jedes r ist das verbleibende unendliche Teilprodukt gleich Null. Der Vorteil dieser Definition ist, daß wie im endlichen gilt:

Ein (eigentlich konvergentes) Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist.

Für ein eigentlich konvergentes Produkt müssen offensichtlich die Faktoren gegen eins konvergieren, es ist daher gelegentlich nützlich, es in der Form

∏_{j=1}^{∞}(1 + u_{j})  (∗)

zu schreiben. Dafür gilt

Lemma 4.3: Das Produkt (∗), in dem alle Faktoren ungleich Null seien, ist genau dann eigentlich konvergent, wenn die Reihe

∑_{j=1}^{∞} Log(1 + u_{j})

konvergiert, wobei Log den Hauptwert des Logarithmus bezeichnet.

Beweis: Da die Exponentialfunktion auf ganz ℂ stetig ist, impliziert die Konvergenz der Summe die des Produkts. Umgekehrt konvergiere das Produkt (∗) eigentlich gegen die komplexe Zahl p ≠ 0, und p_{n} sei das n-te Teilprodukt. Da der Quotient p_{n}/p gegen eins konvergiert, konvergiert dann die Folge der Log(p_{n}/p) gegen Null, denn Log ist stetig in einer Umgebung von 1. Sei

s_{n} = ∑_{j=1}^{n} Log(1 + u_{j}) .

Dann gibt es ganze Zahlen k_{n}, so daß

Log(p_{n}/p) = s_{n} − Log p + 2k_{n}πi

ist, also

Log(p_{n+1}/p) − Log(p_{n}/p) = s_{n+1} − s_{n} + 2(k_{n+1} − k_{n})πi.

Dabei ist s_{n+1}−s_{n} = Log(1+u_{n+1}); da 1+u_{n+1} für große n nahe bei 1 liegt, liegt der Logarithmus nahe bei Null, hat also insbesondere einen Imaginärteil kleiner π. Also muß die Folge der k_{n} stationär werden und die Folge der s_{n} konvergiert, wie behauptet.

Definition: Das Produkt (∗) heißt absolut konvergent, wenn die Summe der Log(1 + u_{j}) absolut konvergiert.

Auf den ersten Blick mag diese Definition etwas seltsam erscheinen, da man eher erwarten würde, daß ein Produkt dann absolut konvergent sein soll, wenn das Produkt der Beträge seiner Faktoren eigentlich konvergent ist; dieser Begriff ist aber völlig nutzlos, da er schwächer wäre als der der eigentlichen Konvergenz: Beispielsweise ist zwar das Produkt der Zahlen (−1)^{j} nicht eigentlich konvergent, aber das Produkt der Absolutbeträge konvergiert natürlich eigentlich gegen 1.

Korollar 4.4: Das Produkt (∗) ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe ∑ u_{j} absolut konvergent ist.

Beweis: Da die u_{j} eine Nullfolge bilden, gibt es eine natürliche Zahl n, so daß

\frac{|u_{j}|}{2} ≤ |Log(1 + u_{j})| ≤ 2|u_{j}|

für alle j > n.

Nach diesen Vorbereitungen über unendliche Produkte können wir uns an die Konstruktion von Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen machen; Ziel ist

Weierstraßscher Produktsatz: (z_{j})_{j∈ℕ} sei eine Folge von Null verschiedener komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt, (n_{j})_{j∈ℕ} sei eine Folge natürlicher Zahlen, und n_{0} ∈ ℕ ∪ {0}. Dann gibt es eine holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ mit ord_{z_{j}} f = n_{j} und ord_{0} f = n_{0}, die für kein z ∉ {0, z_{1}, z_{2}, …} verschwindet.

Beweis: Zunächst genügt es natürlich, wenn wir den Fall n_{0} = 0 betrachten, denn ist f_{0} eine Lösung für diesen Spezialfall, so ist z^{n_{0}}f_{0} eine Lösung des allgemeinen Falls.

Die Grundidee des Beweises besteht darin, daß wir ein Produkt von Faktoren f_{j}(z) konstruieren, so daß f_{j}(z) genau in z_{j} und genau von der Ordnung n_{j} verschwindet. Die kanonische Wahl f_{j}(z) = (z − z_{j})^{n_{j}} scheidet aus, da das Produkt dieser Funktionen unmöglich auf ganz ℂ konvergent sein kann. Auch die etwas bessere Wahl f_{j}(z) = (1 − z/z_{j})^{n_{j}} führt nur dann zu einem konvergenten Produkt, wenn die Summe der 1/z_{j} absolut konvergent ist. Daher müssen wir f_{j} allgemeiner ansetzen; wegen Lemma 4.2 kann dies nur dadurch geschehen, daß wir mit einer Exponentialfunktion multiplizieren, also etwa

f_{j}(z) = [(1 − \frac{z}{z_{j}} ) e(^{\frac{z}{z_{j}}} ) + \frac{1}{2}(\frac{z}{z_{j}} )^{2} + ⋯ + \frac{1}{k_{j}} (\frac{z}{z_{j}} )^{k_{j}} ]^{n_{j}} ,

wobei die k_{j} so gewählt seien, daß

∑_{j=1}^{∞} n_{j} (\frac{z}{z_{j}} )^{k_{j}+1}  (∗)

für alle z ∈ ℂ absolut konvergiert. Eine mögliche Wahl solcher Exponenten k_{j} ist etwa k_{j} = n_{j} + j: Für jedes z ∈ ℂ gibt es einen Index n(z), so daß |z/z_{j}| < \frac{1}{2} für j ≥ n(z). Alsdann ist

\begin{aligned}∑_{j=n(z)}^{∞} n_{j} (\frac{z}{z_{j}} )^{k_{j}+1} & < ∑_{j=n(z)}^{∞} n_{j} (\frac{1}{2})^{n_{j}+j} < ∑_{j=n(z)}^{∞} 2^{n_{j}} (\frac{1}{2})^{n_{j}+j} \\ & = ∑_{j=n(z)}^{∞} (\frac{1}{2})^{j} = (\frac{1}{2})^{n(z)−1} , \end{aligned}

die Reihe (∗) konvergiert also absolut. Der Weierstraßsche Produktsatz folgt nun aus Satz 4.5: z_{j} und n_{j} seien wie im Weierstraßschen Produktsatz definiert. Dann läßt sich jede holomorphe Funktion f: ℂ → ℂ mit ord_{z_{j}} f = n_{j} und ord_{0} f = n_{0}, die für kein z ∉ {0, z_{1}, z_{2}, …} verschwindet, in der Form

f(z) = z^{n_{0}} ∏_{j=1}^{∞} [(1 − \frac{z}{z_{j}} ) e(^{\frac{z}{z_{j}}} ) + \frac{1}{2}(\frac{z}{z_{j}} )^{2} + ⋯ + \frac{1}{k_{j}} (\frac{z}{z_{j}} )^{k_{j}} ]^{n_{j}}· e^{g}(z)

schreiben, wobei (k_{j})_{j∈ℕ} eine beliebige Folge natürlicher Zahlen mit (∗) und g: ℂ → ℂ eine geeignete holomorphe Funktion bezeichnet.

Zum Beweis bezeichnen wir die Faktoren wieder wie oben mit f_{j}; nach Lemma 4.3 müssen wir für die punktweise Konvergenz des Produkts zeigen, daß

∑_{j=1}^{∞}|f_{j}(z) − 1|

für jedes z ∈ ℂ konvergiert. Beginnen wir mit Abschätzungen für die einzelnen Faktoren.

Um die Unübersichtlichkeit der auftretenden Ausdrücke in Grenzen zu halten, betrachten wir eine neue komplexe Variable u, für die später die Quotienten z/z_{j} für hinreichend großes j eingesetzt werden. Für |u| < 1 ist

Log(1 − u) = −u − \frac{u^{2}}{2} − \frac{u^{3}}{3} − ⋯,

denn der Hauptwert des Logarithmus ist insbesondere in der Halbebene Re u > 0 holomorph, also als Potenzreihe darstellbar, und da die angegebene Potenzreihendarstellung im Intervall (0, 1) gilt, ist sie die eindeutig bestimmte Potenzreihenentwicklung von Log(1−u) im Einheitskreis. Also ist dort

1 − u = e−u − \frac{u^{2}}{2} − \frac{u^{3}}{3} − ⋯

und

\begin{aligned}(1 & − u) · eu + \frac{u^{2}}{2} + ⋯ + \frac{u^{k_{j}}}{k_{j}} \\ & = e− ∑_{j=1}^{∞} \frac{u^{j}}{j} eu + \frac{u^{2}}{2} + ⋯ + \frac{u^{k^{j}}}{k_{j}} = e−\frac{u^{k_{j}+1}}{k_{j} + 1} + · · · . \end{aligned}

Für die Beträge folgt, daß

|[(1 − u)eu + \frac{u^{2}}{2} + ⋯ + \frac{u^{k_{j}}}{k_{j}} ]^{n_{j}} − 1| = |e−n_{j} \frac{u^{k_{j}+1}}{k_{j} + 1} + ⋯ − 1|

≤ en_{j} \frac{|u|^{k_{j}+1}}{k_{j} + 1} + ⋯ − 1 ≤ en_{j}|u|^{k_{j}+1} ∑_{ℓ=0}^{∞} |u|^{ℓ} − 1

= en_{j} \frac{|u|^{k_{j}+1}}{1 − |u|} − 1 .

Für |u| ≤ \frac{1}{2} ist das e2n_{j}|u|^{k_{j}+1} − 1, und da man sofort aus der Potenzreihenentwicklungen der linken und der rechten Seite abliest, daß e^{x} − 1 ≤ xe^{x} für jedes positive x, ist

e2n_{j}|u|^{k_{j}+1} − 1 ≤ 2n_{j}|u|^{k_{j}+1}e2n_{j}|u|^{k_{j}+1} .

Wir beweisen nun die Konvergenz von

∑_{j=1}^{∞}|f_{j}(z) − 1|

für alle z mit |z| < R, wobei R eine beliebige aber feste reelle Zahl sei. Dazu sei ein Index m so gewählt, daß

|\frac{R}{z_{j}} | < \frac{1}{2} und n_{j} |\frac{R}{z_{j}} |^{k_{j}+1} < \frac{1}{2} für alle j ≥ m.

Dann ist nach obiger Rechnung

|f_{j}(z) − 1| ≤ 2n_{j} |\frac{z}{z_{j}} |^{k_{j}+1} e2n_{j}|z/z_{j}|^{k_{j}+1} .

Für j ≥ m ist der Exponent nach Voraussetzung kleiner als 1, also ist

|f_{j}(z) − 1| ≤ 2n_{j} |\frac{z}{z_{j}} |^{k_{j}+1} · e < 6n_{j} |\frac{z}{z_{j}} |^{k_{j}+1} .

Damit ist

∑_{j=m}^{∞}|f_{j}(z) − 1| ≤ 6 ∑_{j=m}^{∞} n_{j} |\frac{z}{z_{j}} |^{k_{j}+1} ,

wobei die rechte Seite nach Wahl der k_{j} konvergent ist, und damit auch die linke. Dies beweist die punktweise Konvergenz des Produkts der f_{j}; da der Index m nur von R abhängt, folgt sogar die gleichmäßige Konvergenz in jeder abgeschlossenen Kreisscheibe um den Nullpunkt, und damit in jeder kompakten Teilmenge von C.

Damit folgt schließlich auch die Holomorphie der Grenzfunktion aus dem Satz von Weierstraß:

Satz 4.6: Die Funktionen f_{j}: G → ℂ seien holomorph im Gebiet G, und für jedes z ∈ G existiere der Grenzwert

f(z) =_{def} lim_{j→∞} f_{j}(z) .

Falls die Folge der f_{j} auf jedem kompakten Teilgebiet von G gleichmäßig konvergiert, ist auch die Grenzfunktion f: G → ℂ holomorph, und die Folge der Funktionen f_{j}^{(n)}: G → ℂ der n-ten Ableitungen konvergiert für jedes n ≥ 0 auf jeder kompakten Teilmenge von G gleichmäßig gegen f^{(n)}, d.h. Grenzwertbildung und Ableitung können vertauscht werden.

Beweis: Wie wir aus der Analysis wissen (sollten), ist der Grenzwert einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen wieder stetig; da jeder Punkt von G in G eine kompakte Umgebung hat, ist f also stetig in G.

Zum Nachweis der Holomorphie verwenden wir Satz 2.12 c): Danach muß gezeigt werden, daß für jedes Dreieck △, dessen Abschluß ganz in G liegt,

∫_{∂△} f(z) dz = 0

ist. Da \overline{△} ⊂ G kompakt ist, konvergieren die f_{j}(z) auf ∂△ gleichmäßig gegen f, also ist

∫_{∂△} f(z) dz = lim_{j→∞} ∫_{∂△} f_{j}(z) dz = 0 ,

da die f_{j} holomorph sind.

Genauso konvergiert für jedes n ≥ 0 und jedes z_{0} ∈ G auch

\frac{f_{j}(z)}{(z − z_{0})^{n+1}}

gleichmäßig auf dem Rand einer jeden offenen Kreisscheibe D, deren Abschluß ganz in G liegt, also ist nach dem Cauchyschen Integralsatz

\begin{aligned}f^{(n)}(z_{0}) & = \frac{1}{2πi} ∫_{∂D} \frac{f(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz = lim_{j→∞} ∫_{∂D} \frac{f_{j}(z)}{(z − z_{0})^{n+1}} dz \\ & = lim_{j→∞} f_{j}^{(n)}(z_{0}) , \end{aligned}

wobei die Konvergenz nach den üblichen Abschätzungen gleichmäßig auf jeder ganz in D liegenden abgeschlossenen Kreisscheibe ist. Da jede kompakte Teilmenge von G durch endlich viele Kreisscheiben überdeckt werden kann, ist die Konvergenz gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von G.

Damit ist der Satz von Weierstraß bewiesen, also auch Satz 4.5 und damit auch der Weierstraßsche Produktsatz.

Als Korollar zum Weierstraßschen Produktsatz folgt Korollar 4.7: Jede auf ganz ℂ meromorphe Funktion läßt sich als Quotient zweier holomorpher Funktionen schreiben.

Beweis: Die Funktion f: ℂ → ℂ̂ sei auf ganz ℂ meromorph; ihre Pole seien z_{1}, z_{2}, …, und die jeweiligen Polordnungen seien n_{1}, n_{2}, …, d.h. ord_{z_{j}} f = −n_{j}. Dann gibt es nach dem Weierstraßschen Produktsatz eine holomorphe Funktion h: ℂ → ℂ mit ord_{z_{j}} f = n_{j}, für die Produktfunktion g = fh ist also

ord_{z_{j}} g = ord_{z_{j}} f + ord_{z_{j}} h = −n_{j} + n_{j} = 0 ,

und damit ist g eine holomorphe Funktion mit f = g/h.

Die Hauptanwendungen des Weierstraßschen Produktsatzes liegen in der Konstruktion von Funktionen mit vorgegebenen Nullstellen. Am einfachsten ist der Fall, daß Nullstellen z_{1}, z_{2}, … und Nullstellenordnungen n_{1}, n_{2}, … so vorgegeben sind, daß ∑_{j} n_{j}/z_{j} konvergiert; in diesem Fall gilt die Bedingung (∗) an die Exponenten k_{j} schon für identisch verschwindende k_{j}, und jede holomorphe Funktion mit der vorgegebenen Nullstellenverteilung läßt sich als

f(z) = e^{g(z)} ∏_{j} (1 − \frac{z}{z_{j}} )

schreiben. Leider gibt es aber praktisch keine interessanten Beispiele mit dieser Eigenschaft.

Betrachten wir statt dessen holomorphe Funktionen, deren Nullstellen genau die ganzen Zahlen sind, wobei jede dieser Nullstellen die Ordnung eins habe; also sei etwa

z_{0} = 0 und z_{j} = \{ \begin{matrix}\frac{j+1}{2} & für ungerades j \\ −\frac{j}{2} & für gerades j \end{matrix} ,

und n_{j} = 1 für alle n. Hier können wir wegen der Divergenz der harmonischen Reihe nicht alle k_{j} = 0 setzen. Da aber

∑_{j=1}^{∞}(\frac{z}{z_{j}} )^{2} = 2z^{2} ∑_{j=1}^{∞}(\frac{1}{j})^{2}

für jedes z absolut konvergiert, können wir

f(z) = ze^{g(z)} ∏_{j=1}^{∞} (1 − \frac{z}{z_{j}} ) e^{(\frac{z}{z_{j}} )}

schreiben. Da in diesem Produkt mit jedem z_{j} auch −z_{j} vorkommt, können wir diese beiden Terme zusammenfassen und erhalten wegen

(1 − \frac{z}{z_{j}} ) e^{\frac{z}{z_{j}}} · (1 + \frac{z}{z_{j}} ) e^{− \frac{z}{z_{j}}} = 1 − (\frac{z}{z_{j}} )^{2}

die einfachere Darstellung

f(z) = ze^{g(z)} ∏_{j=1}^{∞} (1 − (\frac{z}{j} )^{2}) ,

deren Konvergenz wir ganz ohne Weierstraßschen Produktsatz auch direkt aus Korollar 4.4 hätten ablesen können.

Wir kennen mindestens eine holomorphe Funktion, deren Nullstellen genau die ganzen Zahlen sind und alle Multiplizität ein haben, nämlich die Funktion sin πz. Nach dem Weierstraßschen Produktsatz gibt es dazu eine holomorphe Funktion g: ℂ → ℂ, so daß

sin πz = ze^{g(z)} ∏_{j=1}^{∞} (1 − (\frac{z}{j} )^{2}) .

Die Funktion g kann beispielsweise mit dem folgenden Trick von Wielandt bestimmt werden: Bildet man auf beiden Seiten der Gleichung die logarithmische Ableitung

\frac{d log f}{dz} = \frac{df}{dz} /f ,

und beachtet man, daß die Leibniz-Regel (uv)′ = u′v + uv′ für logarithmische Ableitungen zu

\frac{(uv)′}{uv} = \frac{u′}{u} + \frac{v′}{v}

wird, und entsprechend auch für beliebig viele Faktoren, so folgt, daß

\frac{π cos πz}{sin πz} = \frac{1}{z} + g′(z) + ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{z − j} + \frac{1}{z + j} )

ist. Eine weitere Ableitung nach z liefert

\frac{−π^{2}}{sin^{2} πz} = \frac{−1}{z^{2}} + g′′(z) − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{(z − j)^{2}} + \frac{1}{(z + j)^{2}} )

oder

g′′(z) = \frac{−π^{2}}{sin^{2} πz} + ∑_{j=−∞}^{∞} \frac{1}{(z − j)^{2}} .

g′′(z) erfüllt die Funktionalgleichung

g′′(z) + g′′(z + \frac{1}{2}) = 4g′′(2z) ,

denn erstens ist

\frac{π^{2}}{sin^{2} πz} + \frac{π^{2}}{sin^{2} π(z + \frac{1}{2})} = \frac{π^{2}}{sin^{2} πz} + \frac{π^{2}}{cos^{2} πz} = \frac{π^{2}}{sin^{2} πz cos^{2} πz}
=\frac{4π^{2}}{sin^{2} 2πz} ,

da sin 2z = 2 sin z cos z, und zweitens ist

∑_{j=−∞}^{∞} \frac{1}{(z − j)^{2}} + ∑_{j=−∞}^{∞} \frac{1}{(z + \frac{1}{2} − j)^{2}}

= ∑_{j=−∞}^{∞} \frac{4}{(2z − 2j)^{2}} + ∑_{j=−∞}^{∞} \frac{4}{(2z − (2j − 1))^{2}}

= 4 ∑_{j=−∞}^{∞} \frac{1}{(2z − j)^{2}} .

Da mit g auch g′′(z) eine holomorphe Funktion ist, können wir die Maxima M_{1}, M_{2} und M_{3} von |g′′(z)| auf den abgeschlossenen Kreisscheiben um Null mit Radien 1, \frac{3}{2} und 2 betrachten; natürlich ist M_{1} ≤ M_{2} ≤ M_{3}. Andererseits ist aber wegen der gerade bewiesenen Funktionalgleichung 4M_{3} ≤ M_{1} + M_{2}, also 4M_{3} ≤ M_{1} + M_{2} ≤ 2M_{3} und damit ist M_{3} = 0. Nach dem Identitätssatz verschwindet g′′ auf ganz ℂ, die erste Ableitung g′ von g ist also konstant. Durch logarithmische Ableitung der Ausgangsgleichung haben wir oben nachgerechnet, daß

g′(z) = \frac{π cos πz}{sin πz} − \frac{1}{z} − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{z − j} + \frac{1}{z + j} )

= \frac{π cos πz}{sin πz} − \frac{1}{z} − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{2z}{z^{2} − j^{2}} )

ist, also ist g′(−z) = −g′(z) eine ungerade konstante Funktion, d.h. die Nullfunktion. Also ist sogar g konstant. Wenn wir in

\frac{sin πz}{z} = e^{g(z)} ∏_{j=1}^{∞} (1 − (\frac{z}{j} )^{2})

z gegen Null gehen lassen, geht die linke Seite nach de l’Hôpital nach π und die rechte nach e^{g(0)}, also folgt

Satz 4.8: sin πz = πz ∏_{j=1}^{∞} (1 − (\frac{z}{j} )^{2}) .

Als nächstes Beispiel versuchen wir, die Funktion

\{ \begin{matrix}ℕ & → ℕ \\ n & ↦ n! \end{matrix}

zu einer meromorphen Funktion Π: ℂ → ℂ̂ fortzusetzen, die für alle z ∈ ℂ die Bedingung Π(z + 1) = (z + 1)Π(z) erfüllt. (Die Funktion kann nicht holomorph sein, denn 1 = Π(0) = 0 · Π(−1), so daß −1 und damit auch jede andere negative ganze Zahl eine Polstelle sein muß.) Gauß machte dazu den folgenden Ansatz: Für zwei natürliche Zahlen z, n ∈ ℕ ist

z! = \frac{(z + n)!}{(z + 1) · · · · · (z + n)}

= \frac{n! (n + 1) · · · · · (n + z)}{(z + 1) · · · · · (z + n)} = \frac{n! n^{z} (1 + \frac{1}{n}) · · · · · (1 + \frac{z}{n})}{(z + 1) · · · · · (z + n)}

= lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{(z + 1) · · · · · (z + n)}(1 + \frac{1}{n}) · · · · · (1 + \frac{z}{n})

= lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{(z + 1) · · · · · (z + n)} ,

denn die Anzahl z der Faktoren ist konstant und jeder einzelne geht gegen eins. Der letzte Ausdruck ist aber für jedes z ∈ ℂ mit Ausnahme der negativen ganzen Zahlen definiert, wenn wir wie üblich n^{z} = e^{Log(n)z} setzen. Dies legt die Definition

Π(z) =_{def} lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{(z + 1) · · · · · (z + n)}

nahe, wobei dieser Grenzwert für negative ganze Zahlen ∞ sein soll.

Um zu zeigen, daß dieser Grenzwert existiert und eine meromorphe Funktion definiert, könnten wir die gleichmäßige Konvergenz auf ℂ minus den negativen ganzen Zahlen nachweisen und dann Satz 4.6 anwenden. Einfacher ist es aber, den bereits bekannten Weierstraßschen Produktsatz zu verwenden: Wenn sich die Funktion Π so verhält, wie wir es erwarten, ist 1/Π(z) holomorph in ganz ℂ und hat einfache Nullstellen in den negativen ganzen Zahlen. Satz 4.5 sagt uns, wie wir solche Funktionen konstruieren können: Da

∑_{j=1}^{∞} (\frac{z}{j} )^{2} = z^{2} ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{j^{2}}

für jedes z ∈ ℂ absolut konvergiert, ist

G(z) = ∏_{j=1}^{∞} (1 + \frac{z}{j} ) e−\frac{z}{j} = lim_{n→∞} ∏_{j=1}^{n} (1 + \frac{z}{j} ) e−z ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j}

= lim_{n→∞} ∏_{j=1}^{n} (\frac{z + j}{j} ) e−z ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j}

= lim_{n→∞} \frac{(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!}e−z ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j}

eine auf ganz ℂ holomorphe Funktion. Das gleiche gilt jedenfalls dann auch für

\frac{1}{Π(z)} = lim_{n→∞} \frac{(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!}e^{−z Log(n)}

= lim_{n→∞} \frac{(z + 1) ⋯ (z + n)}{n!}e−z ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} · ez ( ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} − Log n) ,

wenn

γ = lim_{n→∞} (∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} − Log n)

existiert, denn dann ist mit G auch 1/Π(z) = G(z)e^{γz} auf ganz ℂ holomorph und

Π(z) = \frac{e^{−γz}}{G(z)}

ist meromorph mit einfachen Polen bei den negativen ganzen Zahlen.

Sei also γ_{n} = ∑_{j=1}^{n} 1/j − Log n. Dann ist einerseits

γ_{n} = ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} − ∫_{1}^{n} \frac{dz}{z} = 1 + ∑_{j=2}^{n} (\frac{1}{j} − ∫_{j−1}^{j} \frac{dz}{z} ‘) ,

die Folge ist also monoton fallend; andererseits ist

γ_{n} = ∑_{j=1}^{n−1} (\frac{1}{j} − ∫_{j}^{j+1}\frac{dz}{z} ) + \frac{1}{n} > 0

für alle n. Also existiert der Grenzwert und ist endlich; näherungsweise ist

γ ≈ 0, 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59 ….

Π erfüllt auch die verlangte Funktionalgleichung, denn

Π(z + 1) = lim_{n→∞} \frac{n! n^{z+1}}{(z + 2) · · · · · (z + 1 + n)}

= (z + 1) lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{(z + 1) · · · · · (z + n)} · \frac{n}{z + 1 + n}

= (z + 1) lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{(z + 1) · · · · · (z + n)} · \frac{1}{1 + \frac{z+1}{n}}

= (z + 1)Π(z) .

Trotz dieser schönen Eigenschaften findet man aber die Funktion Π heute nur noch in wenigen Lehrbüchern, denn Euler hat das Interpolationsproblem für n ↦ n! auf andere Weise gelöst und kam dabei zu einer Funktion Γ(z), von der sich zeigte, daß Γ(z) = Π(z − 1) ist. Im Laufe der Jahre haben verschiedene Modeströmungen in der Mathematik mal die eine, mal die andere Funktion populärer werden lassen; derzeit ist die Eulersche Gammafunktion modern, und angesichts der vielen Tabellen, Bibliotheksunterprogramme, Lehrbücher, … in denen sie dargestellt ist, wird sie es wohl auch für die nächste Zeit bleiben. Wir definieren also

Definition: Γ(z) = Π(z − 1) = \frac{Π(z)}{z} = lim_{n→∞} \frac{n! n^{z}}{z(z + 1) · · · · · (z + n)}

und erhalten sofort aus den Eigenschaften von Π, daß Γ auf ganz ℂ meromorph ist mit Polen in 0 und den negativen ganzen Zahlen; außerdem ist

Γ(z + 1) = zΓ(z) für alle z ∈ ℂ.

Die Funktion Γ(1−z) hat damit Pole genau in den natürlichen Zahlen, und Γ(z)Γ(1−z) hat Pole genau in den sämtlichen ganzen Zahlen; ihr Kehrwert hat also Nullstellen genau in den sämtlichen ganzen Zahlen. Solche Funktionen haben wir gerade etwas weiter oben behandelt, und in der Tat ist

\frac{1}{Γ(z)Γ(1 − z)}

= lim_{n→∞} \frac{z(z + 1) · · · · · (z + n)}{n! n^{z}} · lim_{n→∞} \frac{(1 − z) · · · · · (n + 1 − z)}{n! n^{1−z}}
= lim_{n→∞} \frac{z ∏_{j=1}^{n}(j^{2} − z^{2}) · (n + 1 − z)}{(n!)^{2} · n}
= lim_{n→∞} z ∏_{j=1}^{n} (1 − \frac{z^{2}}{j^{2}} ) · \frac{n + 1 − z}{n} = \frac{sin πz}{π} .

Also folgt

Lemma 4.9: Γ(z)Γ(1 − z) = \frac{π}{sin πz} .

Daraus folgt insbesondere, daß Γ(z) nie Null werden kann, und speziell für z = \frac{1}{2} folgt Γ(\frac{1}{2}) = \sqrt{π},denn sin(π/2) = 1, und von der Definition her ist klar, daß Γ(\frac{1}{2}) nicht negativ sein kann.

Wegen Lemma 4.9 (oder auch wegen der Darstellung von G(z) über den Weierstraßschen Produktsatz) sind alle Pole von Γ einfach. Deshalb läßt sich das Residuum an der Stelle z = −n für ein n ∈ ℕ_{0} nach der Formel

Res_{−n} Γ(z) = lim_{z→−n}(z + n)Γ(z)

berechnen. Durch mehrfache Anwendung der Funktionalgleichung erhalten wir

Γ(z) = \frac{Γ(z + 1)}{z} = \frac{Γ(z + 2)}{z(z + 1)} = ⋯ = \frac{Γ(z + n + 1)}{z(z + 1) ⋯ (z + n)} ,

also

Res_{−n} Γ(z) = lim_{z→−n} \frac{Γ(z + n + 1)}{z(z + 1) ⋯ (z + n − 1)}

= \frac{Γ(1)}{(−n)(−(n − 1)) ⋯ (−1)} = \frac{(−1)^{n}}{n!} .

Satz 4.10: Die Γ-Funktion ist auf ganz ℂ meromorph; in den nichtnegativen ganzen Zahlen −n hat sie einfache Pole mit Residuum (−1)^{n}/n!.

Offensichtlich ist die Γ-Funktion nicht die einzige meromorphe Funktion f, für die f(n) = (n−1)! ist für alle natürlichen Zahlen n; für jede holomorphe Funktion g ist Γ(z) + g(z) sin πz eine weitere. Trotzdem läßt sich Γ unter all diesen Funktionen auszeichnen. Eine wesentliche Eigenschaft dazu ist

Lemma 4.11: Γ(z) ist im Streifen 1 ≤ Re z ≤ 2 beschränkt.

Beweis: Sei z = x + iy mit 1 ≤ x ≤ 2. Dann ist |z| ≥ x, also

|\frac{n!n^{z}}{z(z + 1) ⋯ (z + n)}| ≤ \frac{n!n^{x}}{x(x + 1) ⋯ (x + n)}

und damit |Γ(z)| ≤ Γ(x). Da die Γ-Funktion für Re z > 0 holomorph ist, ist sie sicherlich im kompakten Intervall [1, 2] beschränkt, also auch im gesamten Streifen.

Satz 4.12: Die Funktion f: G → ℂ̂ sei meromorph im Gebiet G, das den Streifen 1 ≤ Re z ≤ 2 enthalte; im Streifen selbst sei sie holomorph und beschränkt, und wo immer beide Seiten definiert sind sei f(z + 1) = zf(z). Dann ist f(z) = f(1)Γ(z) für alle z ∈ G.

Beweis: Die Funktion z ↦ (z − 1)f(z − 1) ist in einer gewissen Umgebung des Streifens 2 ≤ Re z ≤ 3 definiert und holomorph; für z ∈ G stimmt sie mit f(z) überein. Damit lassen sich die beiden Funktionen ”zusammenkleben“, die Funktion f kann also analytisch fortgesetzt werden in ein Gebiet, das auch noch den Streifen 2 ≤ Re z ≤ 3 enthält, indem man für alle Punkte, in denen f noch nicht erklärt ist, den Funktionswert (z − 1)f(z − 1) nimmt. Auf genau die gleiche Weise läßt sich f sukzessive weiter fortsetzen auf jeden Streifen n ≤ Re z ≤ (n + 1), also auf die gesamte Halbebene Re z > 1 . Durch die Vorschrift

f(z) = \frac{f(z + 1)}{z} = ⋯ = \frac{f(z + n + 1)}{z(z + 1) ⋯ (z + n)}

kann f weiter fortgesetzt werden auf die Halbebene Re z > −n, wobei dann allerdings bei den nichtpositiven ganzen Zahlen Pole entstehen. Insgesamt kann f also zu einer auf ganz ℂ meromorphen Funktion fortgesetzt werden mit Polen in den nichtpositiven ganzen Zahlen. Die gleiche Rechnung, die zu Satz 4.10 führte, gibt hier die Formel

Res_{−n} f = \frac{(−1)^{n}}{n!} f(1) ,

die Funktion

g(z) =_{def} f(z) − f(1)Γ(z)

hat also keine Pole mehr und ist somit in ganz ℂ holomorph. Wir müssen zeigen, daß sie identisch verschwindet. Da sie im Punkt z = 1 verschwindet, genügt es, ihre Beschränktheit zu zeigen, denn dann ist sie nach dem Satz von Liouville konstant.

Zunächst ist g im Streifen 1 ≤ Re z ≤ 2 beschränkt, denn f ist dort nach Voraussetzung beschränkt und Γ nach Lemma 4.11. Damit ist g auch im Streifen 0 ≤ Re z ≤ 1 beschränkt, denn im (kompakten) Rechteck, in dem zusätzlich | Im z| ≤ 1 ist, ist jede holomorphe Funktion beschränkt, und für | Im z| > 1 ist

|g(z)| ≤ |\frac{g(z + 1)}{z}| ≤ \frac{|g(z + 1)|}{| Im z|} ≤ |g(z + 1)|

beschränkt, da 1 ≤ Re(z + 1) ≤ 2 . Da mit z auch (1 − z) im Streifen 0 ≤ Re z ≤ 1 liegt, ist dort auch die Funktion

s(z) =_{def} g(z)g(1 − z)

beschränkt.

Mit f erfüllt auch g die Funktionalgleichung der Γ-Funktion, denn

g(z + 1) = f(z + 1) − f(1)Γ(z + 1) = zf(z) − f(1)zΓ(z) = zg(z) ,

und deshalb ist

\begin{aligned}s(z + 1) & = g(z + 1)g(−z) = zg(z) · g(−z) \\ & = −g(z) · (−z)g(−z) = −g(z)g(1 − z) = −s(z) ; \end{aligned}

der Betrag von s ist also periodisch mit Periode eins und damit auf ganz ℂ beschränkt. Nach dem Satz von Liouville ist s also eine konstante Funktion; da mit g(1) auch s(1) verschwindet, ist sie identisch Null. Dann muß aber auch g identisch verschwinden, denn sonst hätten g(z) und g(1−z) beide diskrete Nullstellenmengen, und damit auch s.

Als wichtigste Anwendung können wir zeigen, daß die Eulersche Definition

Γ_{Euler}(z) =_{def} ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z−1} dt für Re z > 0

mit der Gaußschen übereinstimmt:

Korollar 4.13: Für alle z mit Re z > 0 ist Γ_{Euler}(z) = Γ(z).

Beweis: Im Streifen 1 ≤ Re z ≤ 2 ist der Integrand von Γ_{Euler} eine holomorphe Funktion von z, und der Betrag des Integrals ist durch Γ_{Euler}(Re z) beschränkt; indem man die beiden Integrale von 0 bis 1 und von 1 bis ∞ getrennt betrachtet, sieht man leicht, daß dieses Integral konvergiert. Also ist Γ_{Euler} in einer Umgebung des Streifens holomorph und im Streifen beschränkt.

Γ_{Euler}(z + 1) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z} dt

kann wegen

\frac{dt}{dt}(−e^{−t}t^{z}) = ze^{−1}t^{z−1} = \frac{dt}{dt}(−e^{−t}) · t^{z} − e^{−t} \frac{d}{dt}t^{z}

durch partielle Integration berechnet werden zu

∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z} dt = −e^{−t}t^{z}|_{0}^{∞} + z ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{z−1} = zΓ_{Euler}(z) .

Nach dem gerade bewiesenen Satz ist Γ_{Euler} also ein konstantes Vielfaches von Γ; tatsächlich sind beide sogar gleich, denn

Γ_{Euler}(1) = ∫_{0}^{∞}e^{−t}t^{0} dt = ∫_{0}^{∞}e^{−t} dt = −e^{−t}|_{0}^{∞} = e^{0} = 1 .

Für viele Anwendungen der Gammafunktion, etwa in Kombinatorik und Statistik, ist es wichtig, ihre Funktionswerte für große Argumente effizient berechnen zu können. Dies ist sowohl in der Gaußschen wie in der Eulerschen Darstellung ein Problem; wir brauchen also einen neuen Ansatz.

Ausgangspunkt dazu ist die zweite logarithmische Ableitung von Γ: Aus der Darstellung

Γ(z) = e^{−γz} · \frac{1}{z} · ∏_{j=1}^{∞} \frac{j e^{z/j}}{j + z}

berechnen wir zunächst

\frac{d}{dz} log Γ(z) = −γ − \frac{1}{z} − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{z + j} − \frac{1}{j}) ,

und damit

\frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(z) = \frac{1}{z^{2}} − ∑_{j=1}^{∞} \frac{−1}{(z + j)^{2}} = ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(z + j)^{2}} .

Aus dieser Formel können wir eine Beziehung für Γ(2z) ableiten, die Legendresche Verdoppelungsformel: Da sowohl Γ(2z) also auch Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}) keine Nullstellen haben und einfache Pole genau an den Stellen z = −n/2 mit n ∈ ℕ_{0}, gibt es eine holomorphe Funktion g(z), so daß

Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}) = e^{g(z)}Γ(2z)

ist. Nach der gerade hergeleiteten Beziehung für die zweite logarithmische Ableitung folgt, daß

∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(z + j)^{2}} + ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(z + j + \frac{1}{2})^{2}} = \frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(2z) ,

also

∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(z + \frac{1}{2}j)^{2}} = g′′(z) + 4 ∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{(2z + j)^{2}} .

Damit ist g′′ = 0, denn

\frac{1}{(z + \frac{1}{2}j)^{2}} = \frac{4}{(2z + j)^{2}} ,

und die beiden Koeffizienten der linearen Funktion g(z) = az + b können durch Einsetzen zweier spezieller Werte bestimmt werden: Für z = \frac{1}{2} erhalten wir \sqrt{π} = e^{a/2+b}, und für z = 1 ist \frac{1}{2} \sqrt{π} = e^{a+b}. Logarithmieren führt auf ein lineares Gleichungssystem für a und b mit Lösungen a = − log 2^{2} und b = \frac{1}{2} log π + log 2; das Endergebnis ist also die

Legendresche Verdoppelungsformel:

\sqrt{π}Γ(2z) = 2^{2z−1}Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}) .

Diese Formel zeigt zumindest, daß die Gammafunktion sehr schnell wächst; um genau zu sehen, wie schnell, integrieren wir die Formel für die zweite logarithmische Abbildung wieder, und zwar dadurch, daß wir die rechte Seite als Integral über eine Hilfsvariable t auffassen und dann die Integrationen über z und über t miteinander vertauschen:

Man überzeugt sich leicht, daß te^{at} die Stammfunktion

\frac{e^{at}(at − 1)}{a^{2}}

hat; für Re z > 0 und j ∈ ℕ_{0} ist also

∫_{0}^{∞}te^{−(z+j)t} dt = \frac{e^{−(z+j)t}(−(z + j)t − 1)}{(z + j)^{2}} |_{0}^{∞} = \frac{1}{(z + j)^{2}} .

Summation über j ergibt

\begin{aligned}\frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(z) & = ∫_{0}^{∞}∑_{j=0}^{∞} te^{−(z+j)t} dt = ∫_{0}^{∞}te^{−zt} ∑_{j=0}^{∞}(e^{−t})^{j} dt \\ & = ∫_{0}^{∞}\frac{te^{−zt}}{1 − e^{−t}} dt = ∫_{0}^{∞}\frac{te^{(1−z)t}}{e^{t} − 1} dt. \end{aligned}

Ersetzen wir schließlich noch z durch (z + 1), so folgt die etwas übersichtlichere Formel

\frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(z + 1) = ∫_{0}^{∞}\frac{te^{−zt}}{e^{t} − 1} dt

für alle z mit Re z > −1 .

Zur Integration dieser Formel nach z verwenden wir mehrfach die folgende

Bemerkung: Die Funktion f: ℝ_{≥0} → ℝ sei stetig und beschränkt. Dann existiert das Integral

∫_{0}^{∞}e^{−zt}f(t) dt

für jedes z mit Re z > 0 , und falls lim_{t→0} f(t)/t existiert, hat die so definierte Funktion von z die Stammfunktion

z ↦ ∫_{0}^{∞}\frac{−e^{−zt}}{t} f(t) dt.

Beweis: Es reicht natürlich, die Existenz des Integrals für positive reelle Werte von z nachzuweisen, und für diese ist das eine einfache Übungsaufgabe in Analysis. Falls f(t)/t stetig nach 0 fortgesetzt werden kann, zeigt die gleiche Argumentation für die Funktion f(t)/t auch die Existenz des zweiten Integrals, und wegen

∫ e^{−zt} dz = −e^{−zt}/t

folgt auch der Rest der Behauptung.

Zur Integration der Formel

\frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(z + 1) = ∫_{0}^{∞}\frac{te^{−zt}}{e^{t} − 1} dt

müssen wir die Funktion f(t) = t/(e^{t} − 1) betrachten. Leider geht f(t)/t für t → 0 gegen Unendlich, die Bemerkung ist also nicht direkt anwendbar. Nun ist aber

∫_{0}^{∞}e^{−zt} dt = \frac{−e^{−zt}}{z} |_{0}^{∞} = \frac{1}{z} ,

also

\frac{d^{2}}{dz^{2}} log Γ(z + 1) − \frac{1}{z} = ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{t}{e^{t} − 1} − 1) dt,

und für

f(t) = \frac{t}{e^{t} − 1} − 1 = \frac{−e^{t} + t + 1}{e^{t} − 1}

folgt durch zweimalige Anwendung der Regel von de l’Hôpital, daß

lim_{t→0} \frac{f(t)}{t} = lim_{t→0} \frac{−e^{t} + t + 1}{te^{t} − t} = lim_{t→0} \frac{−e^{t} + 1}{te^{t} + e^{t} − 1} = lim_{t→0} \frac{−e^{t}}{te^{t} + 2e^{t}} = −\frac{1}{2}

existiert; also ist

\frac{d}{dz} log Γ(z + 1) − log z = ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{1}{1 − e^{t}} + \frac{1}{t}) dt + C_{1} .

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten C_{1} setzen wir rechts und links für z eine natürliche Zahl n ein und lassen diese gegen unendlich gehen. Das Integral rechts geht gegen Null, da die Klammer, wie gerade ausgerechnet, für t → 0 gegen \frac{1}{2} geht und für t → ∞ gegen 0, so daß sie für alle t im Integrationsbereich beschränkt bleibt, während der Vorfaktor e^{−nt} gleichmäßig gegen Null konvergiert. Also ist C_{1} gleich dem Grenzwert der linken Seite. Wie wir oben ausgerechnet haben, ist

\frac{d}{dz} log Γ(z) = −γ − \frac{1}{z} − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{z + j} − \frac{1}{j}) ,

also

\frac{d}{dz} log Γ(n + 1) − log n = −γ − \frac{1}{n + 1} − ∑_{j=1}^{∞} (\frac{1}{n + 1 + j} − \frac{1}{j}) − log n

= −γ + ∑_{j=1}^{n} \frac{1}{j} − log n,

und dies geht nach Definition der Eulerschen Konstanten γ gegen Null. Somit verschwindet C_{1} und wir haben

\frac{d}{dz} log Γ(z + 1) − log z = ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{1}{1 − e^{t}} + \frac{1}{t}) dt.

Auch diese Formel muß integriert werden. Wieder können wir die Bemerkung nicht direkt anwenden, denn f(t), die Klammer, hat ja für t → 0 den Grenzwert \frac{1}{2}. Daher modifizieren wir die Formel wieder, diesmal zu

\frac{d}{dz} log Γ(z + 1) − log z − \frac{1}{2z} = ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{1}{1 − e^{t}} + \frac{1}{t} − \frac{1}{2}) dt,

und erhalten, nachdem wir uns von der Existenz des Grenzwerts von f(t)/t für t → 0 überzeugt haben,

log Γ(z+1)−z(log z−1)− \frac{1}{2} log z = ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{1}{1 − e^{t}} + \frac{1}{t} − \frac{1}{2}) \frac{dt}{t} +C_{2} .

Zur Bestimmung der Integrationskonstanten lassen wir auch hier wieder den Realteil von z gegen ∞ gehen (die Ganzzahligkeit von z bringt hier keinen Vorteil); wieder geht das Integral auf der rechten Seite gegen Null, d.h.

C_{2} = lim_{Re z→∞} log Γ(z + 1) − z(log z − 1) − \frac{1}{2} log z
= lim_{Re z→∞} log Γ(z + 1) − (z + \frac{1}{2}) log z + z.

Exponentiation führt zu

C_{3} = e^{C_{2}} = lim_{Re z→∞} Γ(z + 1) · z^{−(z+ \frac{1}{2} )} · e^{z}

= lim_{Re z→∞} Γ(2z + 1) · (2z)^{−(2z+ \frac{1}{2} )} · e^{2z} ,

denn mit z bekommt auch 2z beliebig großen Realteil. Nach der Verdoppelungsformel von Legendre ist

Γ(2z + 1) = 2zΓ(2z) = 2z · \frac{2^{2z−1}}{\sqrt{π}} Γ(z)Γ(z + \frac{1}{2}) = \frac{2^{2z}}{\sqrt{π}} Γ(z + \frac{1}{2})Γ(z + 1) ,

also

C_{3} = lim_{Re z→∞} Γ(z + 1)Γ(z + \frac{1}{2})\frac{z^{−(2z+ \frac{1}{2} )}}{\sqrt{2π}} · e^{2z}

= lim_{Re z→∞} (Γ(z + 1)z^{−(z+ \frac{1}{2} )}e^{z}) (Γ(z + \frac{1}{2})(z − \frac{1}{2})^{−z}e^{z− \frac{1}{2}} )

· (1 − \frac{1}{2}z)^{z} · e^{\frac{1}{2}} · \frac{1}{\sqrt{2π}}

= C_{3} · C_{3} · e^{− \frac{1}{2}} · e^{\frac{1}{2}} · \frac{1}{\sqrt{2π}} = \frac{C_{3}^{2}}{\sqrt{2π}} .

Somit ist C_{3} = \sqrt{2π} und C_{2} = \frac{1}{2} log(2π), das Ergebnis ist also

Satz 4.14: log Γ(z + 1)

= (z + \frac{1}{2}) log z − z + \frac{1}{2} log 2π + ∫_{0}^{∞}e^{−zt} (\frac{1}{e^{t} − 1} − \frac{1}{t} + \frac{1}{2}) \frac{dt}{t} .

Tatsächlich haben wir gerade etwas mehr bewiesen, nämlich daß

lim_{Re z→∞}(log Γ(z + 1) − (z + \frac{1}{2}) log z + z) = log \sqrt{2π}

gleichmäßig in Im z, also ist

lim_{Re z→∞}(Γ(z + 1)z^{−(z+ \frac{1}{2} )}e^{z}) = \sqrt{2π}

oder

lim_{Re z→∞}(Γ(z)z^{−(z− \frac{1}{2} )}e^{z}) = \sqrt{2π}.

Damit ist asymptotisch für große Realteile von z

Γ(z) ≈ \sqrt{2π} z^{z− \frac{1}{2}} e^{−z} ;

das ist die bekannte Stirlingsche Formel. Nach Satz 4.14 kann diese Formel leicht beliebig verfeinert werden; man muß nur das dortige Integral in eine Potenzreihe entwickeln, wozu – wegen der Irregularität der Potenzreihenentwicklung von 1/(e^{t} −1) – im allgemeinen die sogenannten Bernoullizahlen B_{n} eingeführt werden:

\frac{1}{e^{z} − 1} = \frac{1}{z} − \frac{1}{2} + ∑_{j=1}^{∞}(−1)^{j−1} \frac{B_{j}}{(2j)!}z^{2j−1} .

Ich möchte hierauf nicht weiter eingehen.

Statt dessen möchte ich im Rest dieses Kapitels auf eine weitere in vielen Teilen der Mathematik und deren Anwendungen wichtige Funktion eingehen, die Riemannsche Zetafunktion

ζ(z) = ∑_{j=0}^{∞} j^{−z} .

Zunächst muß die Frage der Konvergenz geklärt werden. Für reelles z > 1 ist

∑_{j=1}^{n} j^{−z} < 1 + ∫_{1}^{n} \frac{dt}{t^{z}} = 1 + \frac{1}{z − 1} (1 − \frac{1}{n^{z+1}} )

konvergent, für z ≥ z_{0} > 1 sogar gleichmäßig in z. Für komplexes z ist |1/n^{z}| = 1/n^{Re z}, die Reihe ζ(Re z) ist also eine Majorante von ζ(z), so daß auch ζ(z) für Re z > 1 konvergiert, für Re z ≥ z_{0} > 1 sogar gleichmäßig. Nach dem Satz von Weierstraß, Satz 4.6, ist ζ(z) also holomorph in der Halbebenen Re z > 1 .

Für z = 1 führt die Definition von ζ auf die harmonische Reihe, die bekanntlich divergent ist; falls ζ also über das Gebiet Re z > 1 hinaus fortgesetzt werden kann, dann nur als meromorphe Funktion mit einem Pol bei z = 1. Eine solche Fortsetzung liefert uns die gerade behandelte Gammafunktion: In der Eulerschen Darstellung ist

Γ(z) = ∫_{0}^{∞}t^{z−1}e^{−t} dt

für Re z > 0 ; die Substitution t ↦ jt ergibt

Γ(z) = ∫_{0}^{∞}j^{z−1}t^{z−1}e^{−jt}j dt = j^{z} ∫_{0}^{∞}t^{z−1}e^{−jt} dt,

also

j^{−z}Γ(z) = ∫_{0}^{∞}t^{z−1}e^{−jt} dt

und – nach Summation über j – damit für Re z > 1

ζ(z)Γ(z) = ∑_{j=1}^{∞} ∫_{0}^{∞}t^{z−1}e^{−jt} dt = ∫_{0}^{∞}t^{z−1} ∑_{j=1}^{∞} e^{−jt} dt = ∫_{0}^{∞}\frac{t^{z−1}}{e^{z} − 1} dt.

Für Re z > 1 ist also

ζ(z) = \frac{1}{Γ(z)} ∫_{0}^{∞}\frac{t^{z−1}}{e^{z} − 1} dt = \frac{Γ(1 − z) sin πz}{π} ∫_{0}^{∞}\frac{t^{z−1}}{e^{z} − 1} dt,

wobei das zweite Gleichheitszeichen aus Lemma 4.9 folgt. Das Integral in dieser Darstellung ist leider auch nur für Re z > 1 definiert, denn ansonsten gibt es Probleme mit der Konvergenz des Integrals an seiner unteren Grenze. Dieses untere Grenze Null können wir dadurch umgehen, daß wir einen komplizierteren Integrationsweg wählen, der den Nullpunkt vermeidet: Wir ersetzen den reellen Integrationsparameter t durch einen komplexen Parameter u und betrachten

∫_{γ} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du

über folgenden Integrationsweg γ: Wir gehen aus von einer kleinen positiven reellen Zahl ε und einer großen positiven reellen Zahl N; dann soll γ starten am Punkt N +iε, von dort aus parallel zur reellen Achse zum Punkt ε + iε gehen; dieser Teil des Integrationsweg sei γ_{1}. Sodann soll γ auf dem Dreiviertelkreis mit Radius r = |ε + iε| = ε\sqrt{2} um den Nullpunkt weitergehen zum Punkt ε − iε; dieser Teil des Integrationswegs sei γ_{2}. Der letzte Teil γ_{3} schließlich geht von ε − iε aus parallel zur reellen Achse zum Punkt N − iε:

..............................................................................................................................................................................................................................................  < > ∨  N 0 •

Da wir im Zähler des Integranden −u statt u geschrieben haben, ist dieser auf γ stetig, denn Log(−u) wird nur für die u auf der positiven reellen Achse unstetig, und die haben wir vermieden. Daher existiert das Integral für alle z ∈ ℂ, und da die Exponentialfunktion im Nenner schneller wächst als die Potenz im Zähler, ist auch die Existenz eines Grenzwerts für N → ∞ kein Problem. Dieser Grenzwert ist unabhängig von ε, solange dieses kleiner als 2π bleibt, denn wenn wir – zunächst für ein festes endliches N – den entsprechenden Integrationsweg mit δ < ε betrachten, ist der Integrand zwischen diesen beiden Integrationswegen holomorph, die Differenz der beiden Integrale ist also nach dem Cauchyschen Integralsatz einfach die Summe der beiden Integrale von N +iδ nach N +iε und von N −iε nach N −iδ, und die gehen gegen Null für N → ∞. Daher existiert auch der Grenzwert des Integrals für N → ∞ und ε → 0. Bei diesem Grenzübergang geht das Integral über γ_{2} natürlich gegen Null. Auf γ_{1} hat Log(−u) einen Imaginärteil nahe bei −π, auf γ_{3} entsprechend nahe bei π. Daher ist

lim_{ε→0} ∫_{γ_{1}} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = lim_{ε→0} ∫_{γ_{1}} \frac{e^{Log(−u)(z−1)}}{e^{u} − 1} du = − ∫_{0}^{N} \frac{e^{(Log t−πi)(z−1)}}{e^{t} − 1} dt

= − ∫_{0}^{N} \frac{t^{z−1}e^{−πi(z−1)}}{e^{t} − 1} dt

und entsprechend

lim_{ε→0} ∫_{γ_{3}} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = lim_{ε→0} ∫_{γ_{3}} \frac{e^{Log(−u)(z−1)}}{e^{u} − 1} du = ∫_{0}^{N} \frac{e^{(Log t+πi)(z−1)}}{e^{t} − 1} dt

= ∫_{0}^{N} \frac{t^{z−1}e^{πi(z−1)}}{e^{t} − 1} dt.

Da

e^{πi(z−1)} − e^{−πi(z−1)} = 2i sin π(z − 1) = −2i sin πz

ist, folgt

lim_{{N→∞ \atop ε→0}} ∫_{γ} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = −2i sin πz ∫_{0}^{∞}\frac{t^{z−1}}{e^{t} − 1} dt.

Das Integral rechts aber haben wir oben gerade ausgerechnet als ζ(z)Γ(z), also ist

lim_{{N→∞ \atop ε→0}} ∫_{γ} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = −2i sin πz ζ(z)Γ(z)

= −2i\frac{π}{Γ(z)Γ(1 − z)}ζ(z)Γ(z) = \frac{−2πi}{Γ(1 − z)}ζ(z) ,

und damit folgt Satz 4.15: Für alle z mit Re z > 1 ist

ζ(z) = −\frac{Γ(1 − z)}{2πi} lim_{N→∞} ∫_{γ} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du.

Korollar 4.16: Die ζ-Funktion kann fortgesetzt werden zu einer auf ganz ℂ meromorphen Funktion. Ihr einziger Pol ist an der Stelle z = 1; er ist einfach und hat das Residuum 1.

Beweis: Die Fortsetzbarkeit auf ganz ℂ ist klar, denn das Integral war ja gerade so gewählt, daß es eine auf ganz ℂ holomorphe Funktion ist. Insbesondere kann ζ(z) höchstens dort Pole haben, wo Γ(1−z) welche hat, also in den natürlichen Zahlen. Nun wissen wir aber schon aus der ursprünglichen Darstellung der Zetafunktion, daß sie für alle z mit Re z > 1 holomorph ist, für n ≥ 2 muß also der Pol von Γ(1 − z) durch eine Nullstelle des Integrals kompensiert werden. Für z = 1 wird das Integral zu

∫_{γ} \frac{du}{e^{u} − 1} .

Dieser Integrand ist holomorph außer für u = 0; da der Integrationsweg (abgesehen von einem kleinen Stückchen zwischen N ± iε, dessen Beitrag für N → ∞ gegen Null strebt) geschlossen ist und im Gegenuhrzeigersinn um den Nullpunkt herumgeht, ist der Wert dieses Integrals für N → ∞ nach dem Residuensatz gleich 2πi Res_{0} \frac{1}{e^{u}−1}; da die Taylorreihe von e^{u} − 1 mit u beginnt, ist dieses Residuum gleich eins, also strebt das Integral gegen 2πi. Da die Gammafunktion im Nullpunkt einen Pol mit Residuum eins hat, hat also auch ζ(z) die gleiche Eigenschaft.

Als nächstes wollen wir uns den Nullstellen der Zetafunktion zuwenden. Für Re z > 1 gibt es keine nach

Satz 4.17: Für alle z mit Re z > 1 ist

ζ(z) = ∏_{p prim}(1 − p^{−z})^{−1} .

Beweis: Nach Korollar 4.4 ist der Kehrwert des Produkts und damit auch dieses selbst eigentlich konvergent, wenn die Reihe ∑ p^{−z} über alle Primzahlen absolut konvergent ist. Da sogar die entsprechende Reihe über alle natürlichen Zahlen für Re z > 1 absolut konvergiert, ist diese Bedingung erfüllt. Zum Beweis der Formel betrachten wir zunächst das Produkt

ζ(z)(1 − 2^{−z}) = ζ(z) − 2^{−z}ζ(z) = ∑_{j=1}^{∞} j^{−z} − ∑_{j=1}^{∞}(2j)^{−z} = ∑_{j ungerade} j^{−z} .

Entsprechend führt die Multiplikation mit jedem anderen Faktor (1 − p^{−z}) dazu, daß alle Summanden mit durch p teilbarem j aus der Summe eliminiert werden, wobei die Wirkungen der einzelnen Faktoren wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung voneinander unabhängig sind. Für die ersten n Primzahlen p_{1}, …, p_{n} ist also

ζ(z) · ∏_{j=1}^{n}(1 − p_{j}^{−z})

gleich der Summe über alle k^{−z}, für die k durch keine der Primzahlen p_{1}, …, p_{n} teilbar ist. Das erste solche k ist immer die eins, das nächste dann p_{n+1}. Letztere Zahl wird mit wachsendem n immer größer; da die Summe über alle j^{−z} für Re z > 1 konvergiert, muß die Summe der hinteren Terme gegen Null gehen, also strebt die Summe für n → ∞ gegen eins, d.h.

ζ(z) · ∏_{p prim}(1 − p^{−z}) = 1 ,

womit die Behauptung bewiesen wäre.

Wir haben hier stillschweigend vorausgesetzt, daß es unendlich viele Primzahlen gibt; allerdings hätten wir das aber auch mit dieser Methode beweisen können, denn wenn es nur endlich viele gäbe, wäre ζ(z) nach obigem Beweis ein endliches Produkt und wäre daher in den Punkt z = 1 fortsetzbar mit einem endlichen Grenzwert. Tatsächlich zeigt die Betrachtung der Zetafunktion sogar noch mehr als die bloße Endlichkeit, denn die Divergenz der Produktdarstellung für z = 1 zeigt, daß die Summe der 1/p divergieren muß; da die Summe der n^{s} für jedes reelle s > 1 konvergiert, liegen die Primzahlen also dichter als die Zahlen n^{s}, insbesondere also dichter als etwa die Quadratzahlen. In der analytischen Zahlentheorie werden solche Argumente häufig benutzt um die Unendlichkeit von Mengen zu zeigen; beispielsweise liegt dem Dirichletschen Satz über die Primzahlen in arithmetischen Folgen ein ähnlicher Schluß zugrunde.

Doch zurück zu den Nullstellen der Zetafunktion! Die Produktentwicklung zeigt, daß ζ für Re z > 1 nicht verschwinden kann; für Re z < 0 bekommen wir ebenfalls eine vollständige Übersicht über alle Nullstellen durch die Funktionalgleichung

Satz 4.18: Für alle z ∈ ℂ ist

ζ(z) = 2^{z}π^{z−1} sin \frac{πz}{2} Γ(1 − z)ζ(1 − z) .

Zum Beweis betrachten wir wieder den gleichen Integrationsweg γ wie bei der Fortsetzung von ζ auf die gesamte Zahlenebene, ausgehend vom Punkt N + iε, wobei nun N = 2n + 1 eine ungerade ganze Zahl sei. Zusätzlich betrachten wir auch noch jenen Integrationsweg γ′, der von N + iε aus zunächst parallel zur imaginären Achse nach N + iN geht, dann parallel zur reellen Achse zu −N + iN, wieder parallel zur imaginären Achse zu −N −iN, parallel zur reellen Achse zu −N +iN, und weiter parallel zur imaginären Achse nach N − iε. Dann ist der Zyklus γ′ −γ homolog zu einem geschlossenen Integrationsweg γ′′ mit gleichem Träger, in dessen Inneren die Funktion

\frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1}

meromorph von u abhängt mit einfachen Polen in den Punkten u = 2kπi. Die Funktion 1/(e^{u}−1) hat dort Residuum eins, (−u)^{z−1}/(e^{u}−1)

Einige spezielle Funktionen 115

also Residuum (∓2kπi)^{z−1}.

......................................................................................................................................................................  γ′ < > ∨  _{N=5}_{0}•  ∧γ′′ < ∨  >  ∧ • • • • 2πi 4πi −2πi −4πi

Nach dem Residuensatz ist

\frac{1}{2πi} ∫_{γ′′} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = ∑_{k=1}^{n}((−2kπi)^{z−1} + (2kπi)^{z−1})

= ∑_{k=1}^{n}(2kπ)^{z−1}((−i)^{z−1} + (i)^{z−1})

= ∑_{k=1}^{n}(2kπ)^{z−1}(e^{(πi/2)(z−1)} + e^{−(πi/2)(z−1)})

= 2 ∑_{k=1}^{n}(2kπ)^{z−1} cos \frac{π}{2} (z − 1) = 2 ∑_{k=1}^{n}(2kπ)^{z−1} sin \frac{πz}{2} ,

d.h.

lim_{n→∞} ∫_{γ′′} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du = 2^{z}π^{z−1} sin \frac{πz}{2} ζ(1 − z) .

Für n → ∞ geht

∫_{γ′} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du

gegen Null, denn der Nenner geht schneller gegen Null als der Zähler und die Länge des Integrationswegs, und

∫_{γ} \frac{(−u)^{z−1}}{e^{u} − 1} du → \frac{−2πi}{Γ(1 − z)}ζ(z) ,

d.h. falls Re z < 0 ist, gilt

\frac{1}{Γ(1 − z)}ζ(z) = lim_{n→∞} 2^{z}π^{z−1} sin \frac{πz}{2} ∑_{k=1}^{−(1−z)} = 2^{z}π^{z−1} sin \frac{πz}{2} ζ(1 − z) .

Damit ist der Satz für alle z mit Re z < 0 bewiesen. Da die linke wie auch die rechte Seite in ℂ ∖ {1} definierte holomorphe Funktionen sind, müssen sie nach dem Identitätssatz auch dort übereinstimmen, also wegen der Stetigkeit beider Seiten auf ganz ℂ.

Damit kennen wir auch die Nullstellen mit negativem Realteil von ζ(z): Da ζ(1−z) für diese Argumente wegen der Produktentwicklung nicht verschwinden kann und Γ(1 − z) im betrachteten Bereich weder Nullstellen noch Pole hat, sind die dortigen Nullstellen von ζ(z) genau die von sin \frac{πz}{2} , also die negativen geraden Zahlen. Diese Nullstellen heißen triviale Nullstellen der Zetafunktion. Die nichttrivialen Nullstellen liegen somit alle im Streifen

0 ≤ Re z ≤ 1 ;

soweit sie numerisch bekannt sind, haben sie sogar alle Realteil \frac{1}{2}, genau wie es Riemann schon vor hundert Jahren vermutet hatte:

Riemannsche Vermutung: Jede nichttriviale Nullstelle der Zetafunktion hat Realteil \frac{1}{2}.

Die Vermutung ist bis heute offen.